Втрапеции одна из диагоналей равна 16, а угол, под которым основание трапеции видно из точки пересечения диагоналей, равен 120. найдите вторую диагональ, если высота трапеции равна 8.
Трапеция ABCD, диагонали пересекаются в точке E, ∠AED=120°, AC=16. Опустим перпендикуляр CF на AC; в прямоугольном треугольнике ACF катет CF равен половине гипотенузы AC⇒∠DAC=30°. Из ΔAED⇒ ∠ADE=180°-120°-30°=30°⇒DE=AE, откуда следует равнобедренность трапеции и равенство ее диагоналей. Если Вам кажется это не совсем очевидным, рассмотрите ΔBEC, подобный равнобедренному ΔAED и поэтому тоже равнобедренный. А тогда AC=AE+EC=DE+EB=DB.
Проведем радиусы от центра окружности О до точек касания В и С. И соедини центр окружности с точкой А. рассмотрим получившиеся треугольники АВО и АСО, в них: угол АВО = угол АСО = 90 гр. (св-во касательных) , следовательно, треугольники АВО и АСО прямоугольные. А чтобы доказать равенство двух прямоуг. треуг-ов достаточно найти 2 равных элемента: - катет ОВ = катет ОС (радиусы окружности) - ОА - общ. гипотенуза из этого следует, что треугольники равны, следовательно все элементы этих треуг-ов равны. а следовательно равны и катеты АС и АВ ч. т. д.
Нужно нарисовать треугольник. Расстояние от данной точки до прямой - это высота данного треугольника. Эта высота разбивает данный треугольник на два прямоугольных, у которых известно по одному катету (9 и 16 см). Наклонные - это гипотенузы полученных прямоугольных треугольников (Обозначим их длины через х и х+5). А высота исходного треугольника - это общий катет этих двух прямоугольных. Выразим этот катет из обоих треугольников с теоремы Пифагора: х² - 81 = (х + 5)² - 256 х² - 81 = х² + 10х + 25 - 256 х² - 81 = х² + 10х - 231 10х = 150 х = 15 Мы нашли одну из наклонных. А теперь находим то самое расстояние от точки (высота исходного треугольника или катет любого из 2х прямоугольных): 225 - 81 = а² (где а - та самая высота) а² = 144 а = 12 ответ 12
Из ΔAED⇒ ∠ADE=180°-120°-30°=30°⇒DE=AE, откуда следует равнобедренность трапеции и равенство ее диагоналей.
Если Вам кажется это не совсем очевидным, рассмотрите ΔBEC, подобный равнобедренному ΔAED и поэтому тоже равнобедренный.
А тогда AC=AE+EC=DE+EB=DB.
ответ: 16