Question

Высота правильной четырехугольной пирамиды равна h, а боковое ребро составляет с основанием угол a. найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Answer 1

$SABCD-$ правильная четырехугольная пирамида
$SO-$ высота
$SO=H$
$\ \textless \ SCO= \alpha$
$S_{nol}-$ ?

$SABCD-$ правильная четырехугольная пирамида  ⇒ $ABCD-$ квадрат
$AB=BC=CD=AD$
$AC$ ∩ $BD=O$
$SO$ ⊥ $(ABC)$
Δ $SOC-$ прямоугольный
$\frac{SO}{OC} =tg\ \textless \ SCO$
$\frac{H}{OC} =tg \alpha$
$OC= \frac{H}{tg \alpha }$
$OC= \frac{1}{2} AC$
$AC=2OC$
$AC=2* \frac{H}{tg \alpha } = \frac{2H}{tg \alpha }$
$d=a \sqrt{2}$
$AC=AD \sqrt{2}$
$AD= \frac{AC}{ \sqrt{2} }$
$AD= \frac{ \frac{2H}{tg \alpha } }{ \sqrt{2} } = \frac{2H}{tg \alpha }* \frac{1}{ \sqrt{2}} = \frac{ \sqrt{2}H }{tg \alpha }$
$S_{ABCD}=AD^2$
$S_{ABCD}=( \frac{ \sqrt{2} H}{tg \alpha })^2 = \frac{2H^2}{tg^2 \alpha }$
$S_{bok}= \frac{1}{2}P_{ABCD}*L$  (L - длина апофемы )
$P_{ABCD}=4*AD$
$P_{ABCD}=4* \frac{ \sqrt{2} H}{tg \alpha }= \frac{4 \sqrt{2}H }{tg \alpha }$
Δ $SOK-$ прямоугольный
$OK= \frac{1}{2} AD$
$OK= \frac{1}{2}*\frac{ \sqrt{2}H }{tg \alpha } =\frac{ \sqrt{2}H }{2tg \alpha }$
По теореме Пифагора найдем SK:
$SK^2=SO^2+OK^2$
$SK= \sqrt{SO^2+OK^2} = \sqrt{H^2+ \frac{2H^2}{4tg^2 \alpha } }= \sqrt{ \frac{4H^2*tg^2 \alpha +2H^2}{4tg^2 \alpha } } =$$=\frac{H}{2tg \alpha } * \sqrt{4tg^2 \alpha +2}$

$S_{bok}= \frac{1}{2}* \frac{4 \sqrt{2}H }{tg \alpha } * \frac{H}{2tg \alpha } * \sqrt{4tg^2 \alpha +2} = \frac{ \sqrt{2}H^2* \sqrt{2} * \sqrt{2tg^2 \alpha +1} }{tg^2 \alpha } =$$\frac{2H^2 \sqrt{2tg^2 \alpha+1} }{tg^2 \alpha }$

$S_{nol}=S_{bok}+S_{ABCD}$
$S_{nol}= \frac{2H^2 \sqrt{2tg^2 \alpha+1} }{tg^2 \alpha } + \frac{2H^2}{tg^2 \alpha }= \frac{2H^2+2H^2 \sqrt{2tg^2 \alpha+1} }{tg^2 \alpha }$

ответ: $\frac{2H^2+2H^2 \sqrt{2tg^2 \alpha+1} }{tg^2 \alpha }$