ответ: 2√5 / 5
Объяснение:
BD=25, DC=15, BC=25+15=40
Биссектриса угла треугольника делит сторону, к которой она проведена, на отрезки, пропорциональные прилегающим к ним сторонам. То есть, BD/DC = AB/AC (AB — гипотенуза, AC — катет). Тогда 25/15 = 5/3 (мы 25 и 15 сократили на 5). Получается, что и AB/AC как 5/3. Пусть гипотенуза AB=5х, а катет, AC=3x. За теоремой Пифагора: AB² = AC² + BC² ›› (5х)² = (3х)² + 40²;
25x² = 9x² + 1600;
25x² - 9x² = 1600;
16x² = 1600;
x² = 100;
x= √100 = ±10, однако -10 нам не подходит, поэтому х=10.
AC=3x=3*10=30;
В треугольнике ACD (угол С=90°): за теоремой Пифагора AD²=AC²+DC²;
AD=√(AC²+DC²);
AD=√(30²+15²)=√1125=15√5;
sinADC = AC/AD = 30 / 15√5 = 2√5 / 5.
Из прямоугольных треугольников по теореме Пифагора получаем три уравнения:
a² + b² = 49
b² + c² = 64
a² + c² = 81
Это система уравнений. Сложим все три уравнения:
2a² + 2b² + 2c² = 194
a² + b² + c² = 97
Из этого уравнения вычтем по очереди три уравнения системы:
с² = 48
a² = 33
b² = 16
c = 4√3 см
a = √33 см
b = 4 см
V = abc = 4√3 · √33 · 4 = 48√11 см³