Пусть квадрат СКМН вписан в треугольник АВС, причем точка М лежит на АВ.
Примем сторону квадрата равной х.
Тогда АК=12-х, ВН=10-х
Площадь ∆ АВС состоит из площади двух прямоугольных треугольников и площади квадрата.
S АВС=Ѕ АКМ+Ѕ МВН+Ѕ КМНС. ⇒
12•10=(12-х)•х+(10-х)•х+2х²⇒
120=22х⇒
см
————
Или:
Проведем биссектрису СМ .
Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.
АМ:ВМ=АС:ВС=12/10=
Откуда АВ=11 частей, и СВ:х=АВ:АМ=11/6⇒
11х=60
см
———
Можно использовать также подобие треугольников АКМ и МНВ, из чего следует
АК:МН=КМ:ВН - ответ будет, естественно, тем же.
а) биссектрисы АК.
Применим известный метод построения срединного перпендикуляра ( деления отрезка пополам).
Из вершины А,как из центра, на сторонах АВ и АС отмечаем циркулем равные отрезки АЕ и АТ.
Из т.т. Е и Т как из центров проводим полуокружности. Соединим точки их пересечения прямой. Они пройдут через А и пересекут ВС в точке К.
АК - биссектриса, т.к. треугольник АЕТ - равнобедренный по построению, АК - срединный перпендикуляр, для равнобедренного треугольника он медиана и биссектриса.
б) медианы ВМ
Для построения медианы ВМ по вышеописанному методу находим середину АС и соединяем с вершиной В.
в) высоты СН.
Для построения высоты находим точку О - середину АС. Из нее как из центра проводим окружность радиусом АО. АО=ОС, АС - диаметр. Точка пересечения окружности с АВ - основание высоты СН, т.к. вписанный угол АНС опирается на диаметр и равен 90°.
Высота построена.
