1) Плоскость α проведена через сторону CD прямоугольника АВСD перпендикулярно к его плоскости.
Из точки А к плоскости α проведена наклонная АК =15 см.
Найти расстояние между прямыми ВС и АК, если АВ = 8 см, AD = 9 см, КС = 12 см.
Сделаем рисунок.
Плоскость α перпендикулярна плоскости прямоугольника. ⇒
KD⊥AD и ⊥DC. ∆ АDC - прямоугольный. По т.Пифагора
DK=√(AK*-AD²)=√(225-81)=12
∆CKD равнобедренный.
ВС и АК лежат в разных плоскостях, не параллельны и не пересекаются. Они скрещивающиеся.
Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой.
ВС║AD, AD лежит в плоскости ADK⇒ ВС║плоскости ADC.
Расстояние от любой точки прямой ВС до плоскости ADC одинаково.
Расстоянием от т.С до плоскости является длина перпендикуляра СН, проведенного к прямой DK ( т.к. они лежат в одной плоскости), т.е. высота равнобедренного ∆ СКD.
Площадь ∆ СКD равна половине произведения его высоты КМ на сторону СD.
КМ из прямоугольного ∆ КМС по т.Пифагора равна √128=8√2
S ∆ CKD=8√2•8:2=16√2
CH=2S∆CKD:KD=(8√2)/3 см –это ответ.
–––––––––––––––––––––––––––––––
2) Обозначим данные плоскости α и β
Пусть в плоскости α лежит прямая а, параллельная m -линии пересечения плоскостей, а в плоскости β– прямая b.
Угол между двумя плоскостями - двугранный. Его величина равна линейному углу, образованному двумя лучами, проведенными в плоскостях из одной точки их общей границы перпендикулярно к ней.
Проведем из точки В на m перпендикулярно к ней в плоскостях α и β лучи, пересекающие прямые а и b в точках А и С соответственно. . Т.к. прямые a и b параллельны m, то BA и ВС пересекают их под прямым углом. АВ - расстояние от прямой а до m, СВ - расстояние от b до m.
Искомое расстояние - отрезок АС, проведенный между а и b перпендикулярно к ним.
Проведем в ∆ АВС высоту СН.
СН=СВ•sin30°=√3
ВН=ВС•cos30°=3
В прямоугольном ∆ АСН катет АН=АВ-ВН=5.
По т.Пифагора
АС=√(AH²+CH²)=√(3+25)=2√7 см
Пусть AD - медиана ВС, BE - медиана АС, CF - медиана АВ.
Так как медиана делит противолежащую сторону пополам, то находим координаты середины данных сторон:
D(середина ВС)=((2+4)/2; (4+0)/2)=(3;2);
Е(середина АС)=((-2+4)/2;(0+0)/2)=(1;0);
F(середина АВ)=((-2+2)/2;(0+4)/2)=(0;2).
Формула уравнения прямой, проходящей через две данные точки (х1;у1) и (х2;у2) имеет вид: (х-х1)/(х2-х1)=(у-у1)/(у2-у1).
А(-2;0), D(3;2);
Уравнение прямой AD:
(x+2)/(3+2)=(y-0)/(2-0);
(x+2)/5=y/2;
2x+4=5y;
2x-5y=-4.
В(2;4), Е(1;0)
Уравнение прямой BE:
(x-2)/(1-2)=(y-4)/(0-4);
(x-2)/-1=(y-4)/-4;
-4x+8=-y+4;
y-4x=-4.
С(4;0), F(0;2)
Уравнение прямой CF:
(x-4)/(0-4)=(y-0)/(2-0);
(x-4)/-4=y/2;
2x-8=-4y;
2x+4y=8.