1. ΔMDN подобен ΔADB по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (DM:MA = DN:NB = 2:1, ∠D - общий) ⇒ MN:AB = 2:3, ∠DMN = DAB. Эти углы соответственные при пересечении прямых MN и АВ секущей DA, ⇒ MN║AB.
ΔNDP подобен ΔBDC по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (DN:NB = DP:PC = 2:1, ∠D - общий) ⇒ NP:BC = 2:3, ∠DNP = ∠DBC. Эти углы соответственные при пересечении прямых РN и СВ секущей DВ, ⇒ РN║СB.
ΔDMP подобен ΔDAC по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (DM:MA = DP:PC = 2:1, ∠D - общий) ⇒ MP:AC = 2:3.
MN║AB и РN║СB ⇒ плоскость MNP параллельна плоскости АВС.
1. ΔMDN подобен ΔADB по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (DM:MA = DN:NB = 2:1, ∠D - общий) ⇒ MN:AB = 2:3, ∠DMN = DAB. Эти углы соответственные при пересечении прямых MN и АВ секущей DA, ⇒ MN║AB.
ΔNDP подобен ΔBDC по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (DN:NB = DP:PC = 2:1, ∠D - общий) ⇒ NP:BC = 2:3, ∠DNP = ∠DBC. Эти углы соответственные при пересечении прямых РN и СВ секущей DВ, ⇒ РN║СB.
ΔDMP подобен ΔDAC по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (DM:MA = DP:PC = 2:1, ∠D - общий) ⇒ MP:AC = 2:3.
MN║AB и РN║СB ⇒ плоскость MNP параллельна плоскости АВС.
Условие:
ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямоугольный параллелепипед, B₁C = 20, B₁A = 13, AD - AB = 11. Найти AA₁.
Каждое ребро прямоугольного параллелепипеда перпендикулярно его двум параллельным граням⇒ B₁B ⊥ AB, B₁B ⊥ BC
Каждая грань прямоугольного параллелепипеда является прямоугольником⇒ AD = BC, A₁A = B₁B
AD - AB = 11 ⇒ BC - AB = 11 ⇒ BC = AB + 11
Пусть АВ = х, тогда ВС = х + 11
Рассмотрим прямоугольный ΔАВВ₁: По теореме Пифагора
АВ₁² = АВ² + В₁В² ⇒ В₁В² = АВ₁² - АВ²
Рассмотрим прямоугольный ΔСВВ₁: По теореме Пифагора
В₁С² = ВС² + В₁В² ⇒ В₁В² = В₁С² - ВС²
Значит, АВ₁² - АВ² = В₁С² - ВС²
13² - х² = 20² - (х + 11)²
169 - х² = 400 - х² - 22х - 121
22х = 110
х = 5 ⇒ АВ = 5 и ВС = 5 + 11 = 16
Рассмотрим прямоугольный ΔАВВ₁: По теореме Пифагора
В₁В² = АВ₁² - АВ² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144
АА₁ = В₁В = 12
ответ: 12