Обозначим данную трапецию АВСD. основания ВС║AD.
О- точка пересечения диагоналей, ∠АОD=90° по условию.
Проведем СЕ║ВD до пересечения с продолжением АD в т.Е.
∠АСЕ =∠АОD=90° - соответственные при пересечении параллельных прямых BD||СЕ и секущей АС.
Четырехугольник ВСЕD- параллелограмм ( противоположные стороны ВС║АE по условию, СЕ║BD по построению). Поэтому DE=ВС.
∆ АСЕ - прямоугольный, АС и СЕ - катеты, АЕ - гипотенуза.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
АЕ²=АС²+СЕ²
Но АЕ=AD+DE, а DE=BC , и СЕ=ВD. Следовательно,
Сумма квадратов диагоналей АС²+ВD²= (АD+ВС)² (квадрату суммы оснований) , что и требовалось доказать.
........................................................