Question

Через середину гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника проведены прямые,паралельные катетам. а)докажите,что полученный четырёхугольник квадрат б)найдите периметр этого квадрата,если длина каждого катета равна a

Answer 1

А) квадрат,т.к. прямые АС║НК И ВС║НМ, прямые выходят из одной точки и опускаются на стороны под прямым углом,тем самым все углы будут по 90 градусов,а значит это квадрат.

Answer 2

Дано: Прямоугольный равнобедренный треугольник АВС. ∠С=90*, ∠А=∠В=45*. МО || CB, NO||CA
Решение:
проведем биссектрису ОС и Р/м треугольник СОВ (он равен СОА, так как т.к высота/медиана/биссектриса поделила АВС пополам). Он прямоугольный (т.к биссектриса в прямоугольном равнобедренном треугольнике - высота и медиана, а высота - это перпендикуляр, опущеный из угла на противолежащую сторону) и равнобедренный (потому как по условию ∠В=45*, а ∠ОСВ=1/2*90*=45*, то есть углы равны, следовательно, и боковые стороны тоже).
Проведем высоту ОN (биссектрису и медиану) уже в нем. Полученные треугольники равны, т.к высота/медиана/биссектриса поделила СОВ пополам, поэтому рассматриваем только СОN. Из 1п следует, что ∠ОСВ=45*, а ∠СОN=45 так же, поэтому это тоже прямоугольный равносторонний треугольник, в котором СN=ОN, а, т.к. треугольник СМО= треугольнику СОN, то СМ=МО=СN=ОN.
Р/м четырехугольник СМОN. Из вышеперечисленного следует, что СМ=МО=СN=ОN, ∠N=90 ∠М=90 ∠О=90 ∠С=90, из этого делаем вывод, что данная фигура - квадрат, все стороны которого равны, а углы прямые.
$P= \frac{4a}{2}= 2a$