Даны прямая (x-3)/2=(y+2)/4=z/1 и точка M(2;-1;2).
M1(3;-2;0) -уже заданная точка по условию задачи, которая принадлежит прямой .
Вектор ММ1{3-2;(-2)-(-1);0-2}={1;-1;-2}
q1{2;4;1} - направляющий вектор прямой (по условию задачи)
Векторы {x-3;y+2;z}, МM1, q1 - компланарны. Поэтому для них можно записать
x - 3 y + 2 z (x - 3)*(-1) + (y + 2)*(-4) + z*4 +
1 -1 -2 + (y + 2)*(-1) + (x - 3)*8 + z*2 =
2 4 1 = 0. = 7x - 21 - 5y - 10 + 6z.
Раскрыв определитель системы, приходим к уравнению
7x - 5y+ 6z - 31 = 0.
Это и будет искомое уравнение плоскости, которая проходит через точку M и прямую.
(5) (6) . Сумма всех плоских углов всех граней тетраэдра равна сумме углов четырёх треугольников, т.е. 720o , поэтому, если суммы углов при каждой вершине равны, то каждая из этих сумм равна 180o . Обратное: (6) (5) – очевидно. (4) (8) . Если R – радиус описанной около тетраэдра сферы, r – радиус вписанной сферы и центры этих сфер совпадают (рис.1), то точка касания сферы с каждой гранью лежит лежит внутри этой грани и удалена от каждой вершины треугольника на расстояние , т.е. является центром описанной около этого треугольника окружности радиуса .
(8) (4) . В любом тетраэдре перпендикуляры, опущенные из центра O описанной сферы на грани (рис.1), попадают в центры описанных окружностей, и если радиусы этих окружностей равны R1 , то точка O одинаково удалена от всех граней (на расстояние ), а т.к. все грани – остроугольные треугольники, то O – центр вписанной сферы.
(8) (6) . Если радиусы описанных окружностей граней ABC и DBC тетраэдра ABCD равны, то BAC = BDC , поскольку эти углы острые и опираются на равные дуги BC в равных окружностях (рис.2). Аналогично для всех пар смежных граней. Таким образом,
Пусть ∠С=x, тогда ∠B=x+30°, ∠A=3*(x+30°).
3*(x+30°)+x+30°+x=180°
3x+90°+x+30°+x=180°
5x=60°
x=12° (∠C),
∠B=12°+30°=42°
∠A=3*42=126°