Окружность является вписанной для большого треугольника и описанной для маленького. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен R = a/√3. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен r = b/2√3. Окружность является одновременно и вписанной и описанной, тогда a/√3 = b/2√3. a = b/2. a/b = 1/2. Т.к. эти треугольник равносторонние, то все углы у них равны. Тогда они еще и подобны по I признаку. Из подобия следует, что их площадь относятся как квадраты их сторон, т.е. S1/S2 = (a/b)² = 1/4. Значит, площадь описанного треугольника в четыре раза больше вписанного.
В ромбе все стороны одинаковые⇒ каждая их них равна четверти периметра, то есть 5. Рассмотрим один из треугольников, на которые диагонали разбивают ромб, обозначим его катеты через x и y (они равны половинам диагоналей). По условию x+y=7, а по теореме Пифагора x^2+y^2=25. Можно, кстати, сразу усмотреть египетский треугольник 3-4-5, а можно так: первое уравнение возводим в квадрат: x^2+y^2+2xy=49 ; после чего берем разность между получившимся уравнением и вторым: 2xy=24; xy=12⇒площадь треугольника равна S=(1/2)xy=6, а площадь ромба в 4 раза больше.
