1) Формула объёма конуса V=S•H:3=πr²H:3
Формула объёма шара
V=4πR³:3
Осевое сечение данного конуса - равносторонний треугольник, т.к. его образующая составляет с плоскостью основания угол 60°.
Выразим радиус r конуса через радиус R шара.
r=2R:tg60°=2R/√3
V(кон)=π(2R/√3)²•2R²3=π8R³/9
V(шара)=4πR³/3
V(кон):V(шар)=[π8R³/9]:[4πR³/3]=(π•8R³•3/9)•4πR³=2/3
———————
2) Формула объёма цилиндра
V=πr²•H
Формула площади осевого сечения цилиндра
S=2r•H
Разделим одну формулу на другую:
(πr²•H):(2r•H)=πr/2⇒
96π:48=πr/2⇒
4π=πr
r=4
Из площади осевого сечения цилиндра:
Н=S:2r=48:8=6
На схематическом рисунке сферы с вписанным цилиндром
АВ- высота цилиндра, ВС - его диаметр,
АС - диаметр сферы.
АС=√(6²+8²)=√100=10
R=10:2=5
S(сф)=4πR8=4π•25=100π см²
1
теорема косинусов
а)
вс^2=ab^2+ac^2 - 2*ab*ac*cosa=11^2+8^2 - 2*11*8*cos60=121+64-2*88*1/2=97
bc=√97 см
б)
ac^2=ab^2+bc^2 - 2*ab*bc*cosb=13^2+7^2-2*13*7*cos60=169+49-2*13*7*1/2=127
ас=√127 см
2
теорема косинусов
а)
cos120= - cos60
np^2=mn^2+mp^2 -2 mn*mp*cos120=7^2+15^2-2*7*15*(-cos60)=
=49+225-2*7*15*(-1/2)=379
np=√379 см
б)
np^2=
3
cos120= - cos60
а) меньшую диагональ (вd)
лежит напротив острого угла < 60
bd^2=6^2+8^2-2*6*8*cos60=36+64-2*48*(1/2)=52
bd=√52=2√13 см
б) большую диагональ (ас)
лежит напротив тупого угла < 120
ac^2=6^2+8^2-2*6*8*cos120=36+64-2*48*(-1/2)=148
ac=√148=2√37 см
4
а) его стороны равны 8 мм и 10 мм, а одна из диагоналей равна 14 мм;
14^2=8^2+10^2 -2*8*10*cos< a
196=64+100 - 160*cos< a
32= - 160*cos< a
cos< a= - 32/160 =-1/5= -0.2
б) его стороны равны 12 дм и 14 дм, а одна из диагоналей равна 20 дм.
20^2=12^2+14^2 -2*12*14*cos< b
400=144+196-336* cos< b
60 =-336* cos< b
cos< b = - 60/336 = - 5/28
5
диагональ (d)и две стороны (a) (b) образуют треугольник
значит третий угол треугольника < a=180-20-60=100 град
дальше по теореме синусов
a/sin20=b/sin60=d/sina=25/sin100
a=sin20*25/sin100=0.3420*25/0.9848=8.7 см
b= sin60*25/sin100=√3/2*25/0.9848=22 см
6
угол < с=180-< a-< b=180-30-40=110
по теореме синусов
ac/sin< b=bc/sin< a=ab/sin< c=2r
ac/sin40=bc/sin30=16/sin110
ac=sin40*16/sin110= 0.6428 *16/0.9397=10.94 см =11 см
bc= sin30*16/sin110=1/2*16/0.9397= 8.5 см
радиус описанной окружности
ab/sin< c=2r
r= ab/(2*sin< c)=16 / (2*sin110)=8/ sin110 = 8.5 см
7
8
углы параллелограмма а и в - односторонние
< a - напротив диагонали d1
< b=180-< a - напротив диагонали d2
cosa= - cosb=
d1^2=a^2+b^2-2ab*cosa
d2^2= a^2+b^2-2ab*cosb = a^2+b^2-2ab*(-cosa)= a^2+b^2+2ab*cosa
d1^2+d2^2 = a^2+b^2-2ab*cosa + a^2+b^2 +2ab*cosa = a^2+b^2 + a^2+b^2 = 2 *( a^2+b^2 )
доказано сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов (четырех)сторон
9
10
11
12
13
360°:9=20° в одной части.
Значит дуга АМС имеет градусную меру 40°
Угол АОС - центральный угол, измеряется дугой на которую он опирается.
∠АОС=40° ⇒∠АВС=140° ( сумма углов четырехугольника равна 360° и углы ВАО и ВСО - прямые)
Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки равны, АВ=ВС
Треугольник АВС равнобедренный с углом 140° при вершине, значит углы при основании (180°-140°):2=20°
О т в е т. 20°; 140°; 20°
2) 4+5=9
360°:9=20° в одной части.
Значит дуга АМС имеет градусную меру 80°
Угол АОС - центральный угол, измеряется дугой на которую он опирается.
∠АОС=80° ⇒∠АВС=100° ( сумма углов четырехугольника равна 360° и углы ВАО и ВСО - прямые)
Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки равны, АВ=ВС
Треугольник АВС равнобедренный с углом 100° при вершине, значит углы при основании (180°-100°):2=40°
О т в е т. 40°; 100°; 40°