1) Рассмотрим треугольники АВН и СВН. Их площади равны, так как у них равные основания (ВН - медиана) и одна и та же высота. Значит S(ABH)=S(CBH) или S(АОB)+S(AOH)=S(СОB)+S(COH) 2) Рассмотрим треугольники АOН и СOН. Их площади также равны, потому что ОН по прежнему медиана, треугольники с равными основаниями и высотами. Значит S(AOH)=S(COH) 3) От первого равенства отнимем второе: S(АОB)+S(AOH)-S(AOH)=S(СОB)+S(COH)-S(COH) Значит, S(АОB)=S(СОB) 4) (Аналогично 1 пункту) Рассмотрим треугольники САМ и ВАМ. Их площади равны, так как у них равные основания (АМ - медиана) и одна и та же высота. Значит S(САМ)=S(ВАМ) или S(СОА)+S(СОМ)=S(BОА)+S(ВОМ) 5) (Аналогично 2 пункту) Рассмотрим треугольники СОМ и ВОМ. Их площади также равны, потому что ОМ по прежнему медиана, треугольники с равными основаниями и высотами. Значит S(СОМ)=S(ВОМ) 6) (Аналогично 3 пункту) От четвертого равенства отнимем пятое: S(СОА)+S(СОМ)-S(СОМ)=S(BОА)+S(ВОМ)-S(ВОМ) Значит, S(СОА)=S(BОА) 7) Но так как S(АОB)=S(СОB) и S(СОА)=S(BОА), то S(АОB)=S(ВОС)=S(СОA). Доказано. (Не знаю может есть и покороче, но что придумалось...)
См чертеж. О - центр описанной окружности, ВМ - диаметр, перпендикулярный FG (из за равенства дуг FB и BG), N - середина FG. Треугольники ВС1N и BAM подобны (прямоугольные с общим острым углом), поэтому BN/BC1 = BA/MB; или BN*MB = BC1*BA; точно так же из подобия BNA1 и BCM BN*MB = BA1*BC; можно, конечно, теперь начать вычислять отрезки, а можно заметить, что получилось BC1/BC = BA1/BA = 2/5; (ясно, что ВС1 = 2); то есть треугольники АВС и А1ВС1 подобны с коэффициентом подобия 2/5; (Это довольно полезная штука, можно и запомнить - прямая, перпендикулярная радиусу описанной окружности, проведенному в вершину треугольника, отсекает от треугольника ему же подобный треугольник.) Если обозначить площадь АВС как S, то площадь A1BC1 равна S*(2/5)^2; а площадь четырехугольника AC1A1C равна S*(1 - (2/5)^2) = 21*S/25; Остается найти площадь АВС по формуле Герона (например), она равна 6√6 (повторю из предыдущей задачи p = (5 + 6 + 7)/2 = 9; p - 5 = 4; p - 6 = 3; p - 7 = 2; S^2 = 9*4*3*2; S = 6√6;) ответ 126√6/25;
В документе чертёж