Question

Втрапеции проведены два параллельных основанию отрезка. один проходит через точку пересечения диагоналей и равен 1,6. другой, равный 2, делит её на две подобные трапеции. найдите отношение отрезков боковой стороны, на которые делят её два данных отрезка.

Answer 1

$ABCD-$ трапеция
$AC$ ∩ $BD=O$
$PK$ ║ $BC$
$LF$ ║ $AD$
$PK=1.6$
$LF=2$
трапеция $LBCF$ подобна трапеции $ALFD$
$BP:PL:AL-$ ?

$ABCD-$ трапеция
$AC$ ∩ $BD=O$
Пусть $BC=a,$  а $AD=b$   $a\ \textless \ b$
1) Δ $AOD$ подобен Δ $BCO$ ( по двум углам)
$\frac{AO}{OC} =\frac{AD}{BC}= \frac{a}{b}$
Δ $APO$ подобен Δ $ACB$  ( по двум углам)
$\frac{AO}{AC}= \frac{PO}{BC}= \frac{b}{a+b}$
Значит, $PO= \frac{BC*b}{a+b} = \frac{ab}{a+b}$
Аналогично:
Δ $DOK$ подобен Δ $DBC$ (по двум углам) ⇒ $OK= \frac{ab}{a+b}$
$PK=OK+OP$
$PK= \frac{2ab}{a+b}$
$PK=1.6$
$\frac{2ab}{a+b}=1.6$

2) трапеция $LBCF$ подобна трапеции $ALFD$ (по условию) ⇒ $\frac{a}{LF} = \frac{LF}{b}$
$LF^2=ab$
$LF=2$ ⇒ $ab=4$
Составим систему уравнений и решим:
$\left \{ {{ \frac{2ab}{a+b}=1.6} \atop {ab=4}} \right.$
$\left \{ {{ \frac{2*4}{a+b}=1.6} \atop {ab=4}} \right.$
$\left \{ {{a+b}=5} \atop {ab=4}} \right.$
$\left \{ {{a=5-b} \atop {ab=4}} \right.$
$\left \{ {{a=5-b} \atop {b(5-b)-4=0} \right.$
$\left \{ {{a=5-b} \atop {b^2-5b+4=0} \right.$
$b^2-5b+4=0$
$D=(-5)^2-4*1*4=9$
$b_1= \frac{5+3}{2}=4,$     $a_1=5-4=1$
$b_2= \frac{5-3}{2} =1,$     $a_2=5-1=4$
$BC=1,$   $AD=4$

3) Проведем $BZ$ ║ $CD$ ⇒ $ZBCD-$ параллелограмм
$BC=ZD=1$
$BZ$ ∩ $PK=T$
$BZ$ ∩ $LF=Q$
$AZ=AD-ZD=4-1=3$
$PT=PK-KT=1.6-1=0.6$
$LQ=LF-QF=2-1=1$

4) Обозначим $BP=x,$  $LP=y$
$BL=LP+PB=x+y$
Δ $PBT$ подобен Δ $LBQ$ (по двум углам)
$\frac{PB}{BL} = \frac{PT}{LQ}$
$\frac{x}{x+y} = \frac{0.6}{1}$
$x=0.6(x+y)$
$x=0.6x+0.6y$
$0.4x=0.6y$
$2x=3y$
$x=1.5y$
$BP=1.5y$
$BL=y+1.5y=2.5y$
трапеция $LBCF$ подобна трапеции $ALFD$ 
$\frac{AL}{LB} = \frac{LF}{BC}$
$\frac{AL}{2.5y} = \frac{2}{1}$
${AL}=5y$
Получаем,что 
$BP:PL:AL=x:y:5y$
$x=1.5y$
$BP:PL:AL=1.5y:y:5y$ 
или сокращая на y получим:
$BP:PL:AL=1.5:1:5$

ответ: $BP:PL:AL=1.5:1:5$
рисунок в приложении