Question

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 60° . из этого угла выходит биссектриса равна 8 см. найти катет напротив этого угла.

Answer 1

Углы, на которые разбивает биссектриса угол в 60°, равны по 30°.

На рисунке я обозначил c - гипотенуза, a - прилежащий к углу 60° катет, $b_a,b_c$ - отрезки, на которые биссектриса делит катет b.

$$cos60^\circ=\boxed{\frac{a}{c}= \frac{1}{2}}$

Далее, по свойству биссектрисы имеем

$$\frac{a}{b_a}=\frac{c}{b_c} \Rightarrow \frac{a}{c}=\boxed{\frac{b_a}{b_c}=\frac{1}{2}}$ (1/2 из предыдущего вывода)

Далее, рассмотрим прямоугольный треугольник с биссектрисой в качестве гипотенузы и запишем $a=lcos30^{\circ};$

По теореме Пифагора в нем же $l^2=b^2_a+a^2; b_a^2=l^2-a^2=l^2-l^2cos^230^{\circ}=l^2(1-cos^230^{\circ})=l^2sin^230^{\circ}$

То есть $$b_a=lsin30^{\circ}; b_c=2b_a; b=b_a+b_c=3b_a; b=3\cdot8 \cdot\frac{1}{2} =12$

ответ: $\boxed{12}$

Answer 2

$4\sqrt{3}$ cм

Объяснение:

По формуле биссектриса равна:

$L = a\sqrt{\frac{2}{1+cos\beta}}$, где а - катет, L - биссектриса, а β наш угол в 60°.

Подставим сюда наши значения:

$8 = a\sqrt{\frac{2}{1+cos60}} = a\sqrt{\frac{2}{1+\frac{1}{2}}} = a\sqrt{\frac{2}{\frac{3}{2}}} = a\sqrt{\frac{2*2}{3}} = a\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}} = \frac{2a}{\sqrt{3}} = a\frac{2\sqrt{3}}{3}$

$a = \frac{8}{\frac{2\sqrt{3}}{3}} = \frac{8*3}{2\sqrt{3}} = \frac{4*3}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$.

Удачи!