Question

30 . найти периметр трапеции abcd с прямыми углами a и b описанной около окружности с центром o, если oc=15 см od=20 см и прямые oc и od перпендикулярны.

Answer 1

1. Четырёхугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда , когда суммы длин его противоположных сторон равны. 
2. Отрезки касательных к окружности , проведенных из одной точки , равны и составляют равные углы с прямой , проходящей через эту точку и центр окружности.
Для начала найдём длину боковой стороны CD
Найдём её из прямоугольного треугольника COD (∠COD=90° по условию)
$CO^2+OD^2=CD^2$ 
$CD= \sqrt{20^2+15^2} =25$

Соединим теперь точку О с точками касания окружности со сторонами АВ и BD . По теореме, углы между радиусами этой окружностью и сторонами будут равны 90 градусов. 
Получаем Четырехугольник OKAM две смежные стороны которого равны , а значит этот четырехугольник квадрат . (Три его угла равны 90 градусов, А - по условию, значит четырехугольник прямоугольный)
Теперь рассмотрим треугольник MOD 
Он прямоугольный.
Тк как его гипотенуза OD равна 20 см, а катеты равны а и d , то $a^2+d^2=20^2$
Углы СDО и ODA  равны по теореме. Значит имеем два подобных прямоугольных треугольника (по двум углам) ΔCOD и ΔDOM

Из подобия треугольников имеем:
$\frac{15}{a} = \frac{20}{d}$
Но $a^2+d^2=20^2$
Из системы уравнений получаем:
а=12
d=16
c+d=25
c=9
Теперь рассмотрим ещё один четырехугольник KOPB
Аналогично доказываем, что он квадрат. Но, одна из его сторон равна а, значит b=a=12⇒ $P_A_B_C_D=2(a+b+c+d)=2(2a+c+d)=98$