Пусть есть треугольник с катетами AB и BC.
Если радиус описанной окружности равен 6,5, то гипотенуза равна 2*6,5 = 13.
Отрезки катетов до точки касания вписанной окружности равны 2 и -2.
По свойству касательных гипотенуза равна сумме этих отрезков:
AB - 2 + BC - 2 = 13 или AB + BC=17.
За теоремой Пифагора 13² = AB² + BC².
Возведём в квадрат равенство AB + BC = 17:
AB² + 2AB*BC + BC² = 289. Заменим AB² +BC² = 169.
2AB*BC = 289 - 169 = 120, AB*BC = 120/2 = 60.
Из выражения AB+ BC = 17 выразим BC = 17 - AB и подставим в AB*BC = 60.
Получим: AB(17 -AB) = 60 или 17*AB -AB² = 60.
Получили квадратное уравнение AB² - 17AB + 60 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно AB.
Ищем дискриминант:
D=(-17)^2-4*1*60=289-4*60=289-240=49;
AB1=(√49-(-17))/(2*1)=(7-(-17))/2=(7+17)/2=24/2=12;
AB2=(-√49-(-17))/(2*1)=(-7-(-17))/2=(-7+17)/2=10/2=5.
ответ: катеты равны 5 и 12.
Рассмотрим треугольник, образованный высотой конуса АО, радиусом его основания ВО и образующей АВ.
Точка К делит высоту в заданном отношении. АК:КО=7:8 ⇒ АО:АК=15:7.
МК⊥АО, МК - радиус основания отсечённого конуса.
ВО║МК, значит тр-ки АОВ и АКМ подобны с коэффициентом подобия k=АО/АК=15/7.
Объёмы конусов зависят от высот АО и АК и радиусов ВО и МК, которые подобны как k, значит коэффициент подобия их объёмов k³.
Итак, объём отсечённого конуса v=V/k³=135·7³/15³=343/25=13.72 (ед³) - это ответ.