1) Перший малюнок: оскільки ОМ = ОК, треба довести, що кут КОМ є розгорнутим. Розглянемо рівні трикутники ОАМ і ОВК, у них рівні відповідні кути ﮮКОМ = ﮮМОА. Також рівні вертикальні кути ﮮВОС = ﮮАОD, утворені при перетині відрізків АВ і СD. Розглянемо трикутники COM і DOK. У них ﮮOCA = ﮮBDO. Оскільки за умовою АМ = ВК, а AC = BD, з основної властивості довжини відрізка випливає, що AC = AM + MC = BD = BK + KD, тобто МС = KD, трикутники за двома сторонами та кутом між ними рівні, таким чином ﮮCOM = ﮮDOK. За основною властивістю величини кута маємо ﮮKOB + ﮮBOC + ﮮCOM + ﮮCOM + ﮮMOA + ﮮAOD + ﮮDOK = 360°, 2(ﮮKOB + ﮮBOC + ﮮCOM) = 360°, ﮮKOB + ﮮBOC + ﮮCOM = 180°. Відрізки ОК і ОМ мають спільний початок та утворюють розгорнутий кут, значить точки К,О,М лежать на одній прямій.
2) Другий малюнок: проведемо медіану AM. З властивості медіани відомо, що вона ділить сторону на дві рівні частини (BM=MC) Позначимо AB за 2х, тоді AB=BC=2x і BM=MC=x. Звідси: P(ABM)=AB+BM+AM=2x+x+AM=3x+AM P(ACM)=AC+CM+CM=20+x+AM Тепер можливі два варіанта розв'язку, які відрізняються вибором трикутника з меншим периметром: Перший варіант: P(ABM)-P(ACM)=6 см 3х+АМ-(20+х+АМ)=6 2x-20=6 2x=26 Як описано вище - AB=BC=2x, тоді AB=26 см і BC=26 см Другий варіант: P(ACM)-P(ABM)=6 20+x+AM-(3x+AM)=6 2x=14 AB=14 см, BC=14 см
3) Третій малюнок: нехай AB=x, BC=(x+2), AC=(x+1), BM=MC, ∠ABN=∠NBC, BN⊥AM. ΔABM - рівнобедрений, оскільки в нього збігається бісектриса і висота, проведені з вершини B, тоді ВМ=АВ=х, тоді МС=2. Отже, АВ=2 см, ВС=4 см, АС=3 см
1. Задача 1. решена пользователем ХироХамаки Новичок (решение в файле)
2. Условие задачи 2. неточное. Должно быть: Основание АС равнобедренного треугольника лежит в плоскости α. Найдите расстояние от точки В до плоскости α, если АВ = 5, АС = 6, а двугранный угол между плоскостью треугольника и плоскостью α равен 60 градусам.
Проведем ВН⊥АС и ВО⊥α. ВО - искомое расстояние. ОН - проекция ВН на плоскость α, значит ОН⊥АС по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах. ∠ВНО = 60° - линейный угол двугранного угла между плоскостью α и плоскостью треугольника. АН = НС = 6/2 = 3 (ВН - высота и медиана равнобедренного треугольника) ΔАВН: по теореме Пифагора ВН = √(АВ² - АН²) = √(25 - 9) = √16 = 4 ΔВНО: ВО = ВН · sin 60° = 4 · √3/2 = 2√3
3. АО⊥α, ОВ и ОС - проекции наклонных АВ и АС на плоскость α, тогда ∠АВО = ∠АСО = 60°. ΔАВО = ΔАСО по катету и противолежащему острому углу (АО - общий катет и ∠АВО = ∠АСО = 60°), значит АВ = АС = 6.
