Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. Данный треугольник Пифагоров и гипотенуза равна 5см.
Точка М - центр описанной окружности.
Точка О - центр вписанной окружности.
Тогда R=2,5см, то есть ВМ=2,5см.
Радиус вписанной окружности равен по формуле:
r=(AC+BC-АВ)/2 = 2/2=1см.
Итак, СН=r=1см => HB=3-1=2см.
PB=HB=2см (касательные из одной точки).
Тогда МР=2,5-2=0,5см. В прямоугольном треугольнике ОМР по Пифагору:
ОМ=√(1²+0,5²)= √1,25 ≈ 1,118 ≈ 1,12см .
ответ: расстояние между центрами окружностей равно
√1,25 ≈ 1,12 см.
Или так: по теореме Эйлера в треугольнике расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей находится по формуле:
d² = R² - 2·R·r.
В нашем случае R = 2,5см, а r = 1cм.
тогда d = √(2,5² -2·2,5) = √(2,5·0,5) = √1,25 ≈ 1,12 см.
Неожиданно очень простая задача.
Если на ВН, как на диаметре, построить окружность, то она пройдет через основания высот, опущенных из вершин А и С (на стороны ВС и АВ соответственно, пусть это АА1 и СС1, так вот, эта окружность проходит через А1 и С1). Связано это просто с тем, что треугольники ВНС1 и ВНА1 - прямоугольные.
Эта окружность является описанной для треугольника А1ВС1, и ВН - её диаметр.
Далее, легко видеть, что ВА1 = ВА*√3/2 и ВС1 = ВС*√3/2, поскольку угол АВС = 30 градусов.
Поэтому угол АВС общий у треугольников АВС и А1ВС1, и стороны этого угла в треугольниках пропорциональны, то есть треугольник А1ВС1 подобен треугольнику АВС (в частности, А1С1 = АС*√3/2).
Поскольку размеры треугольника АВС в 2/√3 раза больше размеров треугольника А1ВС1, во столько же раз больше и диаметр описанной окружности, то есть
ВН = 4 = (2*R)*√3/2 = R*√3, R = 4*√3/3
Я добавлю замечание, не большое такое.
Треугольник А1ВС1 подобен треугольнику АВС при любом угле АВС, а не только - когда он равен 30 градусам.
Пусть угол АВС = Ф.
В общем случае ВС1 = ВС*cos(Ф); BA1 = BA*cos(Ф), то есть угол АВС у треугольников общий, и стороны общего угла пропорциональны. Поэтому тр-ки АВС и А1ВС1 подобны, и коэффициент подобия равен cos(Ф).
Такой же пропорцией должны быть связаны диаметры описанных окружностей 2*R и ВН.
Получается соотношение, которое по форме почти точно воспроизводит теорему синусов :), только с заменой синуса на косинус.
BH = (2*R)*cos(Ф).
В данном случае cos(Ф) = √3/2 и ВН = R*√3.
