1. Угол между наклонной к плоскости и плоскостью - это угол между наклонной и ее проекцией на плоскость. Искомый угол - угол МАО. Высота правильного треугольника равна h=(√3/2)*a = (√3/2)*2√3=3. АО=(1/3)*h = 1 (свойство медианы). Tg(<MAO) = MO/AO = √3.
ответ: α = arctg√3 = 60°
2. Искомый угол - угол между наклонной и ее проекцией, то есть угол АВК. Sin(<ABK) = KA/KB = AC*tg60/5 = 5√3/11. <ABK = arcsin(0,787) ≈ 51,9°.
3. Опустим перпендикуляры SP и SH из точки S к сторонам АВ и АD соответственно. Прямоугольные треугольники APS и AHS равны по гипотенузе и острому углу. Значит АР=АН и АРОН - квадрат. тогда АО = АН*√2 (диагональ квадрата), АS = 2*АН (в треугольнике ASH катет АН лежит против угла 30°, а AS - гипотенуза). Косинус искомого угла (между наклонной AS и плоскостью АВСD, равного отношению проекции наклонной к наклонной) = АО/AS = АН√2/(2*АН) = √2/2.
ответ: искомый угол равен 45°.
Часть круга, расположенная вне ромба - это два равных сегмента круга, отсекаемых от него ромбом.
Формула площади сегмента круга
S=0,5•R*•[(π•a/180)-sinα, где α - угол сегмента.
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
Катет прямоугольного треугольника - среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на неё.
Из ∆ АОВ диаметр ВО=√АВ•BТ=√12√3•9√3=18 см.
ТM=BM=OM=R=9
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из прямого угла - среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу.
ОТ=√AT•BT
AТ=12√3-9√3=3√3
ОТ=√3√3•9√3=9
ОТ=9⇒ОТ= R⇒
∆ТMO-равносторонний,∠ТМО=60° ⇒ смежный ему∠ТМВ=120°
2S=81•[(π•120°/180°)-√3:2], откуда после вычислений получаем 2S=13,5•(4π-3√3) или ≈99,5 см²