Позначимо центр кола, описаного навколо чотирикутника ABCD, як O. Оскільки сторона AD є діаметром, то кут ADC = 90°. Також відомо, що кут ABC = 108°, тому кут ABO = 54° (так як AB є хордою, то відповідний кут - напівсума кутів, які він замінює). Аналогічно, кут OCB = 66°.
За теоремою косинусів, у трикутнику ABC ми можемо знайти кути BAC та BCA:
cos(BAC) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2AB * AC) = (AB^2 + AC^2 - AD^2) / (2AB * AC)
cos(BCA) = (BC^2 + AC^2 - AB^2) / (2BC * AC) = (BC^2 + AC^2 - AD^2) / (2BC * AC)
Оскільки ми не знаємо довжин окремих сторін чотирикутника ABCD, ми не можемо знайти косинуси цих кутів безпосередньо. Але ми можемо скористатися співвідношенням між синусами суми та різниці кутів:
sin(BAC - BCA) = sin(BAC) * cos(BCA) - cos(BAC) * sin(BCA)
Отже, знаючи косинуси кутів із формули косинусів, ми можемо отримати синус відповідної різниці кутів, яку можемо віднести до куту BAC:
sin(BAC) = sin(BAC - BCA) * cos(BCA) / cos(BCA - BAC)
Підставивши відомі значення, отримаємо:
sin(BAC) = sin(42°) * cos(66°) / cos(12°) ≈ 0.433
Значить, кут BAC ≈ 25°.
Кут CAD = 90° - кут ACD = 90° - 48° = 42° (так як кут ACD = (180° - кут BCD) / 2 = 48°).
Кут BDA = 360° - кут ABC - кут ADC - кут CAD = 360° - 108° - 90° - 42° = 120°.
Кут CAD = кут ADB = 42° (так як AD є діаметром кола і кут BDA = 120°, то кути ADC та ADB містять чотирьохкутник, що може бути вписаним в коло - як кут на дугу, так і як кут на півдугу, і тому вони дорівнюють напівсумі кутів на протилежних дугах).
Отже, ми знайшли всі кути чотирикутника ABCD:
BAC ≈ 25°,
BAD = ADC = 42°,
CAD = ABD = 90° - ADC = 48°,
BDA = 120°.
Объяснение:
Шоб не втыкал
Для доведення того, що точки A1, B1 і M1 лежать на одній прямій, використаємо властивість паралельних прямих, яка стверджує, що при перетині паралельних прямих площиною, відповідні відрізки, утворені цим перетином, пропорційні.
За умовою задачі, відрізок BB1 має довжину 12 см, а відрізок MM1 має довжину 8 см. Оскільки прямі AB та A1B1 паралельні, то за властивістю пропорційності можна записати наступне співвідношення:
AB / BB1 = AM / MM1.
Підставляючи відповідні значення, отримуємо:
AB / 12 = AM / 8.
Можемо переписати це співвідношення в наступній формі:
AB = (12/8) * AM.
Скорочуючи дробове значення, отримаємо:
AB = (3/2) * AM.
Отже, відношення довжин відрізків AB і AM дорівнює 3/2. Це означає, що точка A1 лежить на прямій, яка проходить через точки B1 і M1.
Щоб знайти відношення AA1, можемо використати аналогічне співвідношення, використовуючи точку M1:
AB / B1M1 = AA1 / AM1.
За умовою задачі, B1M1 = 12 см, AM1 = 8 см, отже:
AB / 12 = AA1 / 8.
Можемо переписати це співвідношення:
AB = (12/8) * AA1.
Аналогічно до попереднього розрахунку, маємо:
AB = (3/2) * AA1.
Отже, відношення довжин відрізків AB і AA1 також дорівнює 3/2.
Таким чином, ми довели, що точки A1, B1 і M1 лежать на одній прямій, і відношення довжин відрізків AB і AM, а також AB і AA1, однакові і дорівнюють 3/2.
