Треугольник АВС равнобедренный, значит углы при основании равны. <A=<B. Проведем высоту СР. В треугольнике АСР <ACP+<A=90°. Cos(ACP)=Cos(90°-A)=SinA=1/4. Sin(ACP)=Sin(90°-A)=CosA. Или Sin(ACP)=√(1-Sin²A)=√(1-1/16)=√15/4. <C=2*<ACP. SinC=Sin(2a)=2*sinа*cosa или в нашем случае SinC=2√15*1/4*4=√15/8. В прямоугольном треугольнике АСН SinC=AH/AC, отсюда АН=АС*SinC или АН=16√15*√15/8=30. ответ: АН=30.
Если достаточно координат концов лучей звезды, то такая задача аналогична задаче поворота отрезка вокруг точки на заданный угол. Для пятиконечной звезды угол равен 72 градуса. Поместим центр окружности, в которую вписана звезда, в начало координат. Пусть обозначим её точкой А (0;0). Верхняя вершина звезды - точка В (0; R) - R задаётся координатой "у" точки В. Далее по формулам (против часовой стрелки с плюсом, против - с минусом) указываем угол поворота. X = x1+(x2-x1)*cos(A)-(y2-y1)*sin(A). Y = y1+(x2-x1)*sin(A)+(y2-y1)*cos(A).
Если "Точка S розміщена на однаковій відстані 5 см від сторін рівнобічної трапеції", то её проекция на плоскость этой трапеции является центром окружности. вписанной в трапецию.
У трапеции, описанной около окружности, сумма боковых сторон равна сумме оснований.
Боковая сторона равна (3+12)/2 = 15/2 = 7,5 см.
Радиус окружности равен половине высоты трапеции Н, которую находим из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, её проекцией на основание и высотой. Н = √(7,5² - ((12-3)/2)²) = √ (56.25 -20.25) = √36 = 6. r = H/2 = 6/2 = 3 см.
Расстояние от заданной точки до плоскости трапеции равно: L = √(5² - r²) = √(25 - 9) = √16 = 4 см.
Проведем высоту СР. В треугольнике АСР <ACP+<A=90°.
Cos(ACP)=Cos(90°-A)=SinA=1/4.
Sin(ACP)=Sin(90°-A)=CosA. Или
Sin(ACP)=√(1-Sin²A)=√(1-1/16)=√15/4.
<C=2*<ACP. SinC=Sin(2a)=2*sinа*cosa или
в нашем случае SinC=2√15*1/4*4=√15/8.
В прямоугольном треугольнике АСН SinC=AH/AC, отсюда
АН=АС*SinC или
АН=16√15*√15/8=30.
ответ: АН=30.