30. два кола дотикаються зовні. віддаль від точки дотику кіл до їхньої спільної дотичної дорівнює 3,2. обчислити радіус більшого кола, якщо радіус меншого дорівнює 2.
Обозначим точку пересечения высот обеих плоскостей и АВ через О; Найдем ДО -высоту равнобедренного треугольника она будет высотой медианой в равнобедренном треугольнике , так же как и ОС будет высотой медианой в равностороннем треугольнике.ДА^2-АО^2=2^2+(\/3)^2=1;Откуда ДО=1; Ищем СО^2: АС^2-АО^2=12-3=9; Откуда СО=3; Итак имеем 3стороны треугольника: с величинами :1;3; и \/7; По ТЕЛРЕМЕ косинусов найдем угол ДОС; ДС^2=ДО^2+ОС^2-2ДО*ОС*cosДОС; Подставим и получим числовой результат: 7=1+9-6*cosДОС; 6cosДОС=3; Cos ДОС=1/2; Откуда угол ДОС равен 60* ; ответ угол наклона ДОС равен 60*;
Пирамида правильная, т. е. проекция вершины на основание совпадает с пересечением его диагоналей. В квадрате длина диагонали «сторона квадрата» множить на корень из 2-х (можно сослаться на теорему Пифагора – квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, поскольку треугольник имеет прямой угол). Диагональ квадрата – она же и основание треугольника в указанном сечении пирамиды. Угол (при учёте, что треугольник прямоугольный) вычисляется как арктангенс отношения противолежащего катета к прилежащему. Противолежащий – это высота из условия, а прилежащий – половина диагонали квадрата в основании. Если подставить все известные данные, то получается дробь: делимое - 5 корней из 6-ти, а делитель - 10 корней из 2-х делённое на 2. После «перекочёвки» 2-ки к 5-ке и сокращения остаётся корень из 6 делить на корень из 2-х или просто корень из 3-х. Арктангенс корня из 3-х ровно 60 градусов. Площадь сечения просто получается перемножением катетов того же треугольника (половинки сечения). 5 корней из 6 множить на 10 корней из 2-х делённых на 2. Всё легко сокращается до вида 50 корней из 3-х.
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания
О₁А⊥АВ
О₂В⊥АВ
Расстояние СD=3,2
CD⊥AB
Проводим О₂К || AB
M - точка пересечения О₂К с СD
В прямоугольном треугольнике СМО₂
CO₂=r=2;
СМ=СD-r=3,2-2=1,2
В прямоугольном треугольнике О₁КО₂
O₁O₂=O₁C+CO₂=R+r=R+2
О₁К = О₁A-KA = R-r = R -2;
Треугольники СМО₂ и О₁КО₂ подобны по двум углам.
Из подобия
О₂С : О₂О₁=СМ : О₁К
2 : (R+2)=1,2 : (R-2)
2·(R-2)=1,2(R+2)
2R-4=1,2R+2,4
0,8R=6,4
R=8
СМ=СD-r=3,2-2=1,2