Question

1)сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна 20. в ту же окружность вписан квадрат. чему равна площадь круга, вписанного в этот квадрат? 2)найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около
окружности радиуса r. 3)чему равен угол между двумя диагоналями, проведенными из одной вершины правильного пятиугольника. )

Answer 1

№1.

R - радиус описанной окружности, r - радиус окружности, вписанной в квадрат, а - сторона правильного шестиугольника, х - сторона квадрата, S - площадь круга.

R=a=20

$x=\sqrt2\cdot R=20\sqrt2$

$r=\frac{x}{2}=\frac{20\sqrt2}{2}=10\sqrt2$

$S=\pi r^2=\approx 3,14\cdot(10\sqrt2)^2=3,14\cdot200=628$

ответ: площадь круга, вписанного в квадрат, 628.

№2.

а - сторона правильного шестиугольника

$a=\frac{2R}{\sqrt3}=\frac{2R\sqrt3}{3}$

ответ: сторона правильного шестиугольника $\frac{2R\sqrt3}{3}$.

№3.

Каждый из пяти углов правильного пятиугольника равен

$\frac{180^0(5-3)}{5}=108^0$.

Если провести две диагонали из одного угла, то они разделят пятиугольник на три треугольника. Рассмотрим два треугольника, в которых две из сторон являются сторонами исходного пятиугольника. Эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников, кроме того, они оба равнобедренные. Величина равных углов равна $(180^0-108^0):2=36^0$. Угол между диагоналями будет равен $108^0-2\cdot 36^0=36^0$

ответ: угол между двумя диагоналями, проведенными из одной вершины правильного пятиугольника, равен $36^0$.