большая диагональ призмы имеет проекцию большей диагонали основания которая равна 2R = 2A (R = a, только в правильной шестиугольнике радиус описаннкой окружности равен стороне шестиугольника) поэтому проекция равна 2*6 = 12 см
диагональ образует острый угол в 30 градусов с основанием..т.е из прямоугольного треугольника найдем катет "х", так как он лежит напротив угла он равен половине гипотенузы или "диагонали" поэтоу гипотенуза равна "2х"..по теореме Пифагора найдем "х": 4х² = х² + 144 , x = 4√3 это и есть высота призмы.
S бок = 6*(6 * 4√3) так как шесть граней и они равны. = 144√3
S осн = (найдем 1/6 часть площади , т.е площадь одного правильного треугольника со стороной 6, по формуле: a²√3/4 = 36√3/4 = 9√3 так как это 1/6 часть, то умножим на 6 , получим всю площадь: 6 * 9 √3 = 54√3
S полн = 2*Sосн + Sбок = 2*54√3 + 144√3 = 252√3
В тр-ке АВС из С опустим высоту СД. СД = 0,5АВ, т.к тр-к АВС равнобедренный.
Проекция тр-ка АВС на пл. альфа является равнобедренным треугольником АВС1 и имеет вершину С1 и высоту С1Д.
Надо найти СС1.
По условию Sпр = 16sqrt(2) или Sпр = 0,5 АВ * С1Д
16sqrt(2) = 0,5 АВ С1Д
АВ * С1Д = 32sqrt(2)
В тр-ке СДС1 угол СДС1 = 45гр, поэтому СС1 = С1Д.
Обозначим СС1 = С1Д = Н, тогда
гипотенуза СД = sqrt (H^2 + H^2) = H * sqrt (2)
и АВ * Н = 32sqrt(2) - формула 1
выше было показано, что СД = 0,5АВ, тогда
H * sqrt (2) = 0,5АВ и
АВ = 2H * sqrt (2)
Подставим полученное в формулу 1:
2H * sqrt (2) * Н = 32sqrt(2)
2H^2 = 32
H^2 = 16
H = 4
ответ: расстояние от точки С до плоскости альфа СС1 =Р = 4см
0,1 м-ребро,объем=0,1*0,1*0,1=0,001 м^3
объем шара такой же и равен 4/3*π*R^3=0,001
R^3=0,001*3/4/π
R= 0,062 м=6,2 см