Косинусы углов будем находить по формуле:
cos A = (x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂)/(√(x₁²+y₁²+z₁²) * √(x₂²+y₂²+z₂²))
а)
cos A = (0*(-4)+(-1)*(-1)+1*(-1))/(√(0²+(-1)²+1²) * √((-4)²+(-1)²+(-2)²))
= (0+1-1)/(√(1+1) * √(16+1+4))= 0
cos В = ((-3)*(-4)+(-5)*(-1)+1*(-2))/(√((-3)²+(-5)²+1²) * √((-4)²+(-1)²+(-2)²))=
= (12+5-2)/(√(9+25+1) * √(16+1+4))=15/(√35 * √21)= 15/(7√15)= √15/7
cos С = (0*(-3)+(-1)*(-5)+1*1)/(√(0²+(-1)²+1²) * √((-3)²+(-5)²+1²))=
= (0+5+1)/(√(1+1) * √(9+25+1))= 6/(√2 * √35)= 6/√ 70
б)
cos A = (2*0+(-1)*1+1*3)/(√(2²+(-1)²+1²) * √(0²+1²+3²))=
= (0-1+3)/(√(4+1+1) * √(0+1+9))=2/(√6 * √10)= 1/√15
cos В = (0*(-1)+1*1+3*0)/(√(0²+(-1)²+1²) * √((-1)²+1²+0²))=
= (0+1+0)/(√(0+1+1) * √(1+1+0))= 1/(√2 * √2)=1/2
cos С = (2*(-1)+(-1)*1+1*0)/(√(2²+(-1)²+1²) * √((-1)²+1²+0²))=
= (-2-1+0)/(√(4+1+1) * √(1+1+0))= (-3)/(√6 * √ 2)= (-3)/(2√3)= -√3/2
Сумма углов трапеции равна 360 градусов. Две стороны по 45 градусов, остальные по 135 градусов ((360-45*2)/2), высота с меньшим основанием перпендикулярны, а с боковой стороной образует угол 45 градусов (135-90), значит точка, на которую опущена высота, находится на расстоянии 10 см (2 высоты опущены на большое основание образуют прямоугольник с большими сторонами по 20 см, оставшаяся часть большого основания тоже 20 см, трапеция равнобедренная, значит с обеих сторон по 10 см). Трехугольник образованный высотой, боковой стороной и оставшимся отрезком равнобедренный - 2 угла по 45 градусов, высота=оставшемуся отрезку=10 см). Площадь трапеции равна S=(a+b)*h/2, S=(20+40)*10/2=300 см2.
То есть диагональ ВД - большая, а угол А - тупой. Меньшую диагональ находим из условия, что косинус острого угла положителен и равен 5/16.
Тогда АС = √(2²+4²-2*2*4*(5/16)) = √(4+16-5) = √15.
Отсюда площадь искомого диагонального сечения через диагональ АС равна: S = H*AC = √15*√15 = 15 см².