Question

Из точки b окружности опущен перпендикуляр bm на её диаметр ac. ab=4 см. найдите радиус окружности если отрезок am на 4 см меньше cm

Answer 1

r=4 см

Объяснение:

Дано: АС - диаметр окружности, точка В лежит на окружности, ВМ⊥АС, СМ=АМ+4.

Найти: r.

Рисунок к задаче смотри в прикрепленном файле.

Пусть АМ=х, тогда МС=х+4.

ΔАВМ прямоугольный, т.к. ВМ⊥АС (по условию).

По теореме Пифагора найдем ВМ.

$BM=\sqrt{AB^2-AM^2}=\sqrt{4^2-x^2}=\sqrt{16-x^2}$

Проведем отрезок ВС. ΔАВС прямоугольный, т.к. вписан в окружность и одна его сторона является диаметром окружности.

ВМ - высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе - вычисляется как корень квадратный из произведения длин отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.

$BM=\sqrt{AM*MC}=\sqrt{x*(x+4)}=\sqrt{x^2+4x}$

Мы получили два разных выражения, при которых можно найти длину отрезка ВМ. Поскольку результат у них будет одинаковый, приравняем их.

$\sqrt{16-x^2}=\sqrt{x^2+4x}\\16-x^2=x^2+4x\\x^2+x^2+4x-16=0\\2x^2+4x-16=0|:2\\x^2+2x-8=0\\$

По теореме Виета x₁=-4, х₂=2.

х=-4 - посторонний корень (т.к. длина отрицательной быть не может).

АМ=2, МС=2+4=6.

АС=АМ+МС=2+6=8

$r=\frac{AC}{2}=\frac{8}{2}=4$

ответ: r=4 см.

Answer 2

Дано:

O - центр окружности

AB = 4 см

CM - AM = 4 см

Найти: r (радиус окружности)

CM = CO + OM = r + OM

AM = OA - OM = r - OM

CM - AM = 4

r + OM - r + OM = 4

2×OM = 4

OM = 2 ⇒ CM = r + 2, AM = r - 2

Рассмотрим ΔMBA - прямоугольный

По теореме Пифагора:

$AB^2 = MB^2 + MA^2$

Рассмотрим ΔABC - прямоугольный, так как ∠ABC = 90° (опирается на диаметр)

По теореме Пифагора:

$AB^2 = AC^2 - BC^2$

$MB^2 + MA^2 + AC^2 - BC^2 = 2AB^2\\\\AC^2 + MA^2 - (BC^2-MB^2) = 32\\\\AC^2 + AM^2 - CM^2 = 32\\\\(2r)^2 + (r-2)^2 - (r+2)^2 = 32\\\\4r^2 + r^2 - 4r + 4 - r^2 - 4r - 4 = 32\\\\4r^2 -8r - 32 = 0\;\;\;|:4\\\\r^2 - 2r - 8 = 0\\\\\\\left \{\begin{array}{lcl} {{r_1+r_2=2} \\ {r_1\cdot r_2=-8}}\end{array} \right. \Rightarrow r_1 = -2,\;\;r_2 = 4$

r₁ = -2 не подходит, так как радиус не может быть отрицательным, следовательно r = 4

ответ: 4 см