Каждая из 3-х вписанных окружностей вписана в прямоугольный треугольник, на который делится высотами ( медианами и биссектрисами) исходный. Поскольку высоты из каждой вершины ∆ АВС равны, равны и вписанные в такие треугольники окружности.
Сделаем рисунок и рассмотрим ∆ АСН.
Формула радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности
r=(a+b-c):2, где а и b– катеты, с - гипотенуза.
Угол НАС=30°
Гипотенуза АС=а, противолежащий углу 30°.2 катет НС=а/2
АН=АС•sin60°=a√3/2
r=(a√3/2+a/2-a):2=(a√3-a):4=a(√3-1):4
Соединив центры окружностей, получим правильный треугольник, стороны которого равны 2r. Каждый угол этого треугольника отсекает от окружностей по сектору с углом 60°. Всего таких секторов 3, площадь каждого равна 1/6 площади круга, значит, их общая площадь равна 3/6=1/2 площади круга.
Искомая площадь криволинейного треугольника равна разности между площадью ∆ ОО1О2 и 1/2 площади одного из вписанных кругов.
S ∆ ОО1О2 по формуле площади правильного треугольника
S=(2r)²•√3/4=r²√3
S(кp)=πr²
Искомая площадь r²√3-πr²/2=r²•(2√3-π):2
Подставим в это выражение найденный выше r = a(√3-1):4
S =[a(√3-1):4]²•(2√3-π):2 =a²(4-2√3)•(2√3-π):32
S =[a(√3-1):4]²•(2√3-π):2 =a²•(2-√3)•(2√3-π):16
После вычислений получим искомую площадь равной 0,05401 а²
a = 2(r+r*корень(3))
или
r = 0.5*a/(1+корень(3))
Дело теперь на немногим - найти площадь просвета между касающимися окружностями. Очевидно он равен площади правильного треугольника Sт со стороной 2r за вычетом трех 60-градусных секторов круга с радиусом r Sо.
Площадь треугольника Sт = 0.5*2r*2r*корень(3)/2 = r*r*корень(3). Площадь трех секторов по 60 градусов - это половина площади круга Sо = п*r*r/2. То есть искомая площадь: S = Sт-Sо = r*r*корень(3) - п*r*r/2 = r*r*(корень(3) - п/2)
С учетом значения радиуса найденного выше:
S = 0.25*a*a*(корень(3) - п/2)/(1+корень(3))^2
или примерно 0.0054*a*a