1) Центром вписанной окружности треугольника является точка пересечения биссектрис.
Биссектриса к основанию равнобедренного треугольника является высотой и медианой.
MO - биссектриса, KE - биссектриса, высота и медиана.
ME=EN=10
По теореме Пифагора
KE =√(MK^2-ME^2) =12*2 =24
По теореме о биссектрисе
KO/OE =MK/ME =13/5 => OE =5/18 KE =20/3
Или по формулам
S=pr
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)], где p=(a+b+c)/2
Отсюда
r=√[(p-a)(p-b)(p-c))/p]
при a=b
r=c/2 *√[(a -c/2)/(a +c/2)] =10*√(16/36] =20/3
3) Вписанный угол, опирающийся на диаметр - прямой, K=90
MN =2*OM =26
По теореме Пифагора
KN =√(MN^2-MK^2) =5*2 =10
P(KMN) =2(5+12+13) =60
а = d*(cos 45°) = 6*(√2/2) = 3√2 дм.
Площадь основания So = а² = (3√2)² = 18 дм².
Объём пирамиды V = (1/3)SoH.
Если двугранный угол при ребре основания равен 30 градусов, то высота Н пирамиды равна произведению половины стороны основания на тангенс угла наклона боковой грани к плоскости основания :
H = (a/2)*tg 30° = (3√2/2)1/√3) = 3√2/(2√3) ≈ 1,224745 дм.
Отсюда V = (1/3)*18*(3√2/2√3) =9√2/√3 ≈ 7,348469 дм³.