Дан треугольник abc, на стороне ac взята точка e так, что ae: ec=a, а на стороне ab взята точка d так,что ad: db=b. проведены отрезки cd и be. найти отношение площади получившегося четырёхугольника к площади данного треугольника.
Точка пересечения CD и BE - M, третья чевиана AF; Тогда из теоремы Ван-Обеля AM/MF = AD/DB + AE/EC = a + b; или AM/AF = (a + b)/(a + b + 1); Из теоремы Чевы (AD/DE)(BF/FC)(CE/EA) = 1; то есть BF/FC = a/b; или, то же самое, BF/BC = a/(a + b); CF/BC = b/(a + b); То есть если площадь ABC равна S, то площадь ABF равна Sabf = S*a/(a + b); Если сравнить площади треугольников ABF и ABM, у которых общая сторона AB, то они пропорциональны расстояниям от точек F и M до AB; а эти расстояния пропорциональны AM и AF; то есть Samb/Safb = AM/AF = (a + b)/(a + b + 1); далее, отношение площадей треугольников AMD и AMB равно b/(b + 1); собирая все это, можно получить Samd = S*a/(a + b)*(a + b)/(a + b + 1)*b/(b + 1) точно также можно найти Same = S*b/(a + b)*(a + b)/(a + b + 1)*a/(a + 1); и остается сложить. Saemd/S = ab(1/(a + 1) + 1/(b + 1))/(a + b + 1) = (a/(a + 1))(b/(b + 1))(a + b + 2)/(a + b +1) как то так...
Задача 1 Сначала проверяем, подобны ли данные треугольники, если они подобны, то соотношение соответственных сторон должно быть правильным, значит: АС/А₁С₁=ВС/В₁С₁ 4/6=12/18 4*18=6*12 72=72 значит треугольники подобны Тогда составляем пропорцию с неизвестной стороной А₁В₁: АВ/АС=А₁В₁/А₁С₁ 10/4=А₁В₁/12 А₁В₁=10*12/4=30
Задача 2 Мы знаем что, площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон., Значит: 18/288=9²/А₁В₁ А₁В₁=288*81/18==36
Задача 3 Рассмотрим треугольники АОВ и ДОС, они подобны по первому признаку (когда два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника), так как ∠АОВ=∠ДОС как вертикальные, а ∠АВД=∠ВДС как внутренние накрест лежащие (так как АВ параллельно ДС, ведь АВСД трапеция и АВ и СД ее основания) Тогда составляем пропорцию отношения сторон подобных треугольников: ДО/ДС=ОВ/АВ 20/50=8/АВ АВ=50*8/20=20 ответ АВ=20
Проведем МА⊥α и МВ⊥β. МА = 12 - расстояние от М до α, МВ = 16 - расстояние от М до β.
Пусть плоскость АМВ пересекает ребро двугранного угла - прямую а - в точке С. МА⊥α, а⊂α, значит МА⊥а. МВ⊥β, а⊂β, значит МВ⊥а. Так как прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости АМВ, то она перпендикулярна этой плоскости, следовательно она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости, ⇒ а⊥АС, а⊥ВС, ⇒∠АСВ = 90° - линейный угол двугранного угла; а⊥МС, ⇒ МС - искомое расстояние.
=36
Тогда из теоремы Ван-Обеля
AM/MF = AD/DB + AE/EC = a + b;
или
AM/AF = (a + b)/(a + b + 1);
Из теоремы Чевы
(AD/DE)(BF/FC)(CE/EA) = 1; то есть BF/FC = a/b;
или, то же самое, BF/BC = a/(a + b); CF/BC = b/(a + b);
То есть если площадь ABC равна S, то площадь ABF равна
Sabf = S*a/(a + b);
Если сравнить площади треугольников ABF и ABM, у которых общая сторона AB, то они пропорциональны расстояниям от точек F и M до AB; а эти расстояния пропорциональны AM и AF; то есть
Samb/Safb = AM/AF = (a + b)/(a + b + 1);
далее, отношение площадей треугольников AMD и AMB равно b/(b + 1);
собирая все это, можно получить
Samd = S*a/(a + b)*(a + b)/(a + b + 1)*b/(b + 1)
точно также можно найти
Same = S*b/(a + b)*(a + b)/(a + b + 1)*a/(a + 1);
и остается сложить.
Saemd/S = ab(1/(a + 1) + 1/(b + 1))/(a + b + 1) = (a/(a + 1))(b/(b + 1))(a + b + 2)/(a + b +1) как то так...