Рассмотрим треугольник АВС:
∠АВС = 90°, АС = 2АВ, значит ∠АСВ = 30° по свойству катета, лежащего напротив угла в 30°.
Тогда ∠ВАС = 90° - ∠АСВ = 90° - 30° = 60°, так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, значит
АО = ОВ, т.е. ΔАОВ равнобедренный и углы при основании равны:
∠ОАВ = ∠ОВА = 60°, тогда
∠АОВ = 180° - (∠ОАВ + ∠ОВА) = 180° - (60° + 60°) = 60°.
∠ВОС = 180° - ∠АОВ = 180° - 60° = 120° по свойству смежных углов.
P(ABM) = AB + AM + MB
MB = 1/2 BC
Дальше подставляем и заменяем.
2АВ + ВС = 32, АВ + АМ + 1/2 ВС = 24
Из последнего следует, что АВ = 24 - АМ - 1/2 ВС. Подставляем его в первое и решаем как обычное уравнение
2(24 - АМ - 1/2 ВС) + ВС = 32
48 - 2 АМ - ВС + ВС = 32
2 АМ = 16
АМ = 8 см