Дано: АВСD-пространственный четырехугольник.
М-середина АВ
N-середина ВС
Еε СD
Кε DA
DE:EC=1:2
DK:KA=1:2
Доказать: MNEK-трапеция.
Д-во:
Рассмотрим треугольник АВС:
М-середина АВ, N-середина ВС
Значит, MN-средняя линия треугольника АВС.
MN=0.5*AC
MN||AC
Рассмотрим треугольник АDC:
DE:EC=1:2
DK:KA=1:2
Треугольники ADC и DEK- подобные (по второму признаку подобия треугольников), т.к угол D-общий, а его стороны пропорциональны:
DE/EC=DK/KA=1/2
Если угол одного треугольника равен углу другого, а стороны, образующие тот угол в одном треугольнике, пропорциональны соответствующим сторонам другого, то такие треугольники подобны.
А так как два эти треугольника подобны, то КЕ||AC
Так как KE||AC, MN||AC => KE||MN.
По определению трапеции, четырехугольник называется трапецией, если две его стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
Докажем, что стороны КМ, EN не параллельны друг другу.
АМ/MB=CN/NB=1/1
DE/EC=DK/KA=1/2
Значит, стороны KM, EN не могут быть параллельными в связи с разным отношением сторон.
Значит, четырехугольник MNEK-трапеция.
