Question

Найдите длину дуги кривой x=e^t, y=e^-t, z=t*корень из 2 между двумя её точками м1(t=0) и м2(t=пи)

Answer 1

Рассмотрите такое решение:
1.     $L= \int\limits^a_b { \sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}} \, dt;$
x'(t)=e^t; (x'(t))²=e^(2t).
y'(t)= -e^(-t), (y'(t))²=e^(-2t);
z'(t)=√2, (z'(t))²=2.
2.   $L= \int\limits^ \pi _0 { \sqrt{e^{2t}+e^{-2t}+2}}\,dt= \int\limits^ \pi _0 { \frac{ \sqrt{(e^{2t}+1)^2}}{e^t} }\,dt=$
$\int\limits^a_b {(e^t+e^{-t})} \, dt=(e^t-e^{-t})|_0^{ \pi}=e^ \pi -e^{- \pi}$