Question

Дан треугольник авс. точка м принадлежит ав, точка к принадлежит вс. вм: ма=3: 4. через мк проходит плоскость альфа, параллельная ас. доказать, что вс: вк=7: 3 и найти длину мк, если ас=14 см

Answer 1

Если в одной из пересекающихся плоскостей лежит прямая, параллельная другой плоскости, то она параллельна линии пересечения плоскостей. (свойство)

Плоскость α параллельна АС, следовательно, МК, линия пересечения плоскостей АВС и α,  параллельна АС.

В ∆ АВС МК║АС. Поэтому соответственные ∠ВМК и ∠ВАС равны, угол В общий для треугольников АВС и МВК, ⇒ эти треугольники подобны.

Примем коэффициент подобия равным а. 

ВК:СК=ВМ:МА=3а:4а, ⇒ВС=ВК+СК=7а.

k=ВС:ВК=7:3 - (доказано). 

Отсюда АС:МК=7:3

14:МК=7:3 ⇒ 7МК=42,

МК=6 см

Answer 2

Для начала обозначим точки треугольника.

Пусть точка А - это точка вершины А, точка В - это точка вершины В, точка С - это точка вершины С.

Также обозначим точку М - это точка, принадлежащая стороне АВ, и точку К - это точка, принадлежащая стороне ВС.

Мы знаем, что отношение МА к АВ равно 3:4, что можно записать как МА/АВ = 3/4.

Также дано, что плоскость альфа проходит через точку М и параллельна стороне АС.

Теперь, чтобы доказать, что ВС/ВК = 7/3, мы можем использовать свойство параллельных прямых.

Поскольку плоскость альфа параллельна стороне АС, она также параллельна стороне МК.

Значит, по теореме Талеса, мы можем записать отношение ВС/ВК так: ВС/ВК = МА/МК.

Мы знаем, что МА/АВ = 3/4, поэтому МА можно записать как (3/4) * АВ.

Теперь мы можем заменить МА в выражении ВС/ВК = МА/МК следующим образом: ВС/ВК = (3/4) * АВ / МК.

Мы также знаем, что АС = 14 см, поэтому АВ + ВС = 14.

Теперь мы можем представить ВС в виде (14 - АВ) и заменить ВС в нашем выражении ВС/ВК = (3/4) * АВ / МК следующим образом: (14 - АВ)/ВК = (3/4) * АВ / МК.

Теперь мы можем решить это уравнение, чтобы найти отношение ВС/ВК и длину МК.

Умножив обе части уравнения на ВК, мы получим следующее: 14 - АВ = (3/4) * АВ * (ВК / МК).

Раскроем скобки: 14 - АВ = (3/4) * АВ * ВК / МК.

Переместим АВ на левую сторону: 14 = АВ + (3/4) * АВ * ВК / МК.

Теперь выразим АВ: АВ = 14 / (1 + (3/4) * ВК / МК).

Далее, чтобы найти длину МК, мы должны заметить, что из выражения ВС/ВК = (3/4) * АВ / МК следует, что ВС = (3/4) * АВ.

Мы уже знаем выражение для АВ, поэтому можем записать ВС = (3/4) * (14 / (1 + (3/4) * ВК / МК)).

Теперь у нас есть выражение для длины МК и отношение ВС/ВК, которое можно подставить в исходное утверждение для проверки его справедливости.