Question

Объём треугольной пирамиды равен 35. плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 3: 4, считая от вершины пирамиды. найдите больший из объёмов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Answer 1

Пусть SABC - треугольная пирамида. Плоскость проходит через сторону BC основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро AS в точке K так, что SK : AK = 3 : 4.
Треугольник BCK - сечение пирамиды SABC плоскостью, которая разбивает пирамиду SABC на две пирамиды - SKBC и KABC. 

Объем пирамиды SABC:
V₁ = 1/3 * Sосн₁ * h₁
где Sосн₁ - площадь треугольника, лежащего в основании данной пирамиды, т.е. S(ABC)
h₁ - высота пирамиды SABC, т.е. перпендикуляр SO, проведенный к плоскости основания данной пирамиды

Объем пирамиды KABC:
V₂ = 1/3 * Sосн₂ * h₂
где Sосн₂ - площадь треугольника, лежащего в основании данной пирамиды, т.е. S(ABC) ⇒ Sосн₁ = Sосн₂
h₂ - высота пирамиды KABC, т.е. перпендикуляр KO₁, проведенный к плоскости основания данной пирамиды

Треугольники SOA и KO₁A подобны по двум углам:
∠KAO₁ = ∠SAO (угол наклона ребра к плоскости ABC)
∠SOA = KO₁A = 90°
⇒ стороны данных треугольников пропорциональны. 

Поскольку SK : AK = 3 : 4, отрезок SK составляет 3 части, отрезок AK составляет 4 части, AS составляет 7 частей.
⇒ AK : AS = 4 : 7 
⇒ KO₁ : SO = 4 : 7 
⇒ h₂ : h₁ = 4 : 7
7h₂ = 4h₁
h₂ = 4h₁ / 7

  V₁             1/3 * Sосн₁ * h₁
---------- = -----------------------------
  V₂             1/3 * Sосн₂ * h₂

  V₁              S(ABC) * h₁
----------- = -----------------------
  V₂              S(ABC) * h₂

  V₁              h₁
--------- = -----------
  V₂              h₂

  V₁               h₁
---------- = -----------------
  V₂              4h₁ / 7

  35             7
--------- = ---------
  V₂             4

35 * 4 = 7V₂
V₂ = 20 (куб. ед.) 

20 составляет бОльшую часть от 35 ⇒ это и есть бОльший из объемов, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.