Question

При каких значениях параметра a уравнение (x^2+4x -a)(|x+2|-2-a)=0 имеет ровно три корня. .

Answer 1

Задание. При каких значениях параметра a уравнение (x^2+4x -a)(|x+2|-2-a)=0 имеет ровно три корня.
                  Решение:
Представим левую часть уравнения в виде: $((x+2)^2-4-a)(|x+2|-2-a)=0.$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, т.е. $\left[\begin{array}{ccc}(x+2)^2-4-a=0\\ |x+2|-2-a=0\end{array}\right\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}(x+2)^2=4+a\\ |x+2|=2+a\end{array}\right$.
Очевидно, что если 4+a<0, то уравнения решений не имеют, т.к. левая часть уравнения принимает неотрицательные значения, а правая - отрицательное число.

Анализ. Для того, чтобы уравнение имело три корня достаточно показать, что $a+4\ \textgreater \ 0$ и $a+2=0$ или $a+4=0$ и $a+2\ \textgreater \ 0$

$a+4\ \textgreater \ 0$ откуда $a\ \textgreater \ -4$ и $a+2=0$  откуда  $a=-2$.
$a+2\ \textgreater \ 0$  откуда  $a\ \textgreater \ -2$ и $a+4=0$  откуда $a=-4$.
Значение а=-4 не подходит, так как если подставить в уравнение |x+2| = 2+a , то уравнение решений не имеет и исходное уравнение будет иметь 2 корня.

Итак, при а = -2 данное уравнение имеет ровно три корня.

ответ: при а = -2.