Question

Даны площадь и радиус описанной окружности прямоугольного треугольника.через них нужно выразить стороны

Answer 1

Предположим R - радиус описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности, а S - площадь этого треугольника. Надо выразить a и b - катеты и с гипотенузу треугольника. По свойствам треугольника, в частности теореме Пифагора, и описанной окружности имеем следующее:
$a\cdot b=2S,\\ c=2R,\\ b=\sqrt{c^2-a^2}.$
Тогда
$b=\sqrt{4R^2-a^2}=\frac{2S}{a};\\ 4R^2-a^2=\frac{4S^2}{a^2};\\ \frac{4S^2+a^4-4R^2a^2}{a^2}=0;\\ a^4-4R^2a^2+4S^2=0;\\ a^2=x\,\Rightarrow x^2-4R^2x+4S^2=0;\\ D'=4R^4-4S^2,\,x_{1,2}=2R^2\pm\sqrt{4R^4-4S^2}=2R^2\pm2\sqrt{R^4-S^2}$
Избавляясь от постороннего решения, получим
$a=\sqrt{2R^2-2\sqrt{R^4-S^2}},\,b=\sqrt{2R^2+2\sqrt{R^4-S^2}},\\ c=2R.$