Дано :
∆АВС — прямоугольный (∠С = 90°).
AD = BD.
АС = 12, CD = 10.
Найти :
S(∆ABC) = ?
Так как D — середина АВ, то CD — медиана ∆АВС (по определению).
В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине.Следовательно, АВ = 2CD = 2*10 = 20.
По теореме Пифагора найдём длину катета СВ :
AB² = AC² + CB²
CB² = AB² - AC² = 20² - 12² = 400 - 144 = 256 => CB = √CB² = √256 = 16.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.Следовательно, S(∆ABC) = ½*AC*CB = ½*12*16 = 96 (ед²).
96 (ед²).
АВ = √(АС² + ВС²) = √(49 + 81) = √130
Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.
СК = АВ/2 = √130/2
СК² = 130/4 = 65/2
ΔАСМ по теореме Пифагора:
АМ² = АС² + СМ² = 49 + 81/4 = 277/4
ΔСНВ по теореме Пифагора:
ВН² = СВ² + СН² = 81 + 49/4 = 373/4
СК² + АМ² + ВН² = 65/2 + 277/4 + 373/4 = 780/4 = 195