Задание № 6:
В прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A и катетами AB=2, AC=6 вписан квадрат ADEF. Найдите отношение площади треугольника EFC к площади квадрата ADEF.
РЕШЕНИЕ: Пусть сторона квадрата х. Тогда FC=(6-x).
Площадь треугольника EFC=CF*FE/2=(6-x)x/2
Площадь квадрата равна х^2.
Их отношение: ((6-x)x/2)/х^2=(6-x)/2х.
Так как треугольники САВ и CFE подобны (по прямому углу и углу С), то составляем пропорцию:
АС/FC=AB/FE
6/(6-x)=2/x
6x=2(6-x)
6x=12-2x
8x=12
x=1.5
(6-x)/2х=(6-1.5)/(2*1.5)=1.5
ОТВЕТ: 1.5
1. Строим угол C, равный данному углу Е. Для этого
строим луч СН; проводим дуги с произвольным, но одинаковым радиусом с центрами в точках Е и С.; D и F - точки пересечения дуги со сторонами угла Е, К - точка пересечения дуги с лучом СН; проводим дугу с центром в точке F, радиусом FD, затем с тем же радиусом с центром в точке К. Точка пересечения дуг - L. Проводим луч CL. Угол LCK равен данному углу Е.2. На луче СН откладываем отрезок СА = b.
3. На луче CL откладываем отрезок СВ = а. Соединяем точки А и В.
Треугольник АВС - искомый.
Пускай PF = х, тогда EP = 3х
3х + х = 28
4х = 28
х = 7 см - отрезок PF
EP = 3 * 7 = 21 см