В выпуклом АВСЕ построим диагональ АС. Рассмотрим получившийся треугольник АВС. Здесь МН - средняя линия, т.к. по условию она соединяет середины сторон АВ и ВС. Значит МН II АС, МН=1/2АС Рассмотрим треугольник АЕС. Здесь РК - средняя линия, т.к. по условию она соединяет середины сторон АЕ и СЕ. Значит РК II АС, РК=1/2АС. Следовательно, МН II РК, МН = РК. Таким образом, в четырехугольнике МНКР две стороны равны и параллельны, значит МНКР - параллелограмм. Диагонали параллелограмма МК и НР точкой пересечения О делятся пополам (МО=КО, РО=НО), что и требовалось доказать.
Пусть катеты АС и ВС равны а. Тогда медиана (она же высота и биссектриса - так как треугольник АВС равнобедренный), проведенная к гипотенузе АВ треугольника равна половине этой гипотенузы и равна а√2. Угол между прямой (катет ВС) и плоскостью α - это угол между этой прямой СВ и ее проекцией МВ на плоскость. Итак, АВ=а√2. НС=НВ=а√2/2(так как в прямоугольном треугольнике СНВ катеты СН=НВ). СМ=МН=а/2(так как в прямоугольном треугольнике СМН <CHM=45°). Следовательно, угол СВМ равен 30°(так как катет СМ равен половине гипотенузы СВ). ответ: катет образует с плоскостью α угол, равный 30°
