Question

Две окружности касаются внешним образом в точке м. к этим окружностям проведены две общие касательные, не проходящие через м и касающиеся окружностей в точках a,b,c и d. найдите площадь четырехугольника abcd, если радиусы окружностей равны 60 и 15.

Answer 1

Если через центры данных окружностей провести прямую, то относительно нее данные касательные к окружностям будут симметричны. Тогда четырехугольник ABCD - равнобедренная трапеция.
Найдем ее основания: (см. рисунок)
ОО1АВ - прямоугольная трапеция, О1Q=AB=h - ее высота. По теореме Пифагора
$O_1Q=\sqrt{O_1O^2-OQ^2}=\sqrt{(R+r)^2-(R-r)^2}=\\ =2\sqrt{Rr}=2\sqrt{60\cdot15}=60.$
Поскольку треугольники TCO иTDO1 - подобны и соотношение сторон равно R:r=4, то
$\frac{60+DT}{DT}=4;\, 3DT=60;\, DT=20.$.
По теореме Пифагора
$O_1T=\sqrt{r^2+DT^2}=\sqrt{15^2+20^2}=25.$
Тогда
$TR=\frac{DT^2}{O_1T}=\frac{400}{25}=16$, $DR=\sqrt{DT^2-TR^2}=\sqrt{20^2-16^2}=12.$
Поскольку треугольники TCS иTDR также подобны и соотношение сторон равно, то CS=4*12=48.
$H=RS=\sqrt{CD^2-(CS-DR)^2}=\sqrt{60^2-(48-12)^2}=\\ =\sqrt{60^2-36^2}=48.$
Тогда ABCD - равнобедренная трапеция с высотой 48 cм и средней линией 48+12=60 см. Ее площадь будет равна
S=60*48=2880 см^2.