Відрізки АВ, АС та АD попарно перпендикулярні. Точка М – середина відрізка ВС. Знайти довжину відрізка DМ, якщо AB = 6 см, АС = 8 см, АD = 12 см.
Дано: AB⊥ AC ; DA ⊥ AB ,DA ⊥ AC ;
MA =MB = BC/2 ;
AB = 6 см, АС = 8 см, AD =12 см.
-----------------
DM - ?
ответ: 13 см.
Решение : Плоскости треугольников ABC. ABD и ACD взаимно перпендикулярные плоскости ( допустим , соответственно горизонтальная , фронтальная , профильная плоскости)
DA ⊥AB , DA ⊥AC ⇒ DA ⊥ пл(ABC) и следовательно DA ⊥ AM
Из ΔDAM (по т. Пифагора) : DM =√(AD²+AM²) =√(12²+AM²)
* * * 6 ; 8 ; 10 || 2*3 ; 2*4 ; 2*5 * * *
( || MA = MB= BC/2 || AM медиана в прямоугольном прямоугольнике BAC, проведенной к гипотенузе BC из прямого угля ∡BAC )
AM=BC/2 ( медиана проведенной из прямого угля равно половине гипотенузы ) BC =√(AB² +AC²)= √(6²+8²) =√(36+64) =√(100 =10 (см)
AM = 5 см .
Окончательно DM =√(12²+5²) = √(144+25) = √169 =13 (см).
* * * Снова 5 ; 12 ; 13 _ Пифагора тройка * * *
Объяснение:
S(бок)= S(МDА)+S(МDС)+S(МАВ)+S(МСВ)
1)Т.к. МD⊥(АВС) , то МD⊥DА , МD⊥DС.
Δ МDА= МDС как прямоугольные по 2-м катетам : МD-общая, АD=DС как стороны квадрата , S(МDА)=S(МDС)=1/2*20*15=150(см²).
2) МD⊥( АВС), DА⊥АВ , значит МА⊥АВ по т. о 3-х перпендикулярах⇒ΔМАВ-прямоугольный.
МD⊥( АВС), DС⊥СВ , значит МС⊥СВ по т. о 3-х перпендикулярах⇒ΔМСВ-прямоугольный.
3) ΔМАВ= ΔМСВ, как прямоугольные по катетам МА=МС=25 и общей гипотенузе МВ. Поэтому S(МАВ)=S(МСВ)=1/2*20*25=250 (см²).
4)S(бок)= 2*150+2*250=800 (см²).