Question

Докажите, что медиана m треугольника со сторонами a, b, c, проведённая к стороне а, вычисляется из соотношения m² = (2b²+2c²-a²)/4.

Answer 1

Решение смотри в файле

Answer 2

Теорема косинусов:
$\displaystyle c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos( \alpha)$
Применим для нашего треугольника:
$b^2 = m^2 + \frac{a^2}{4} - \frac{ma}{2} cos( \alpha )$
$c^2 = m^2 + \frac{a^2}{4} - \frac{ma}{2} cos( \pi - \alpha )$
$cos( \pi - \alpha ) = -cos( \alpha )$, отсюда 
$c^2 = m^2 + \frac{a^2}{4} + \frac{ma}{2} cos( \alpha )$
Складываем $b^2$ и $c^2$
$b^2 + c^2 = m^2 + \frac{a^2}{4} - \frac{ma}{2} cos( \alpha ) + m^2 + \frac{a^2}{4} + \frac{ma}{2} cos( \alpha )$
$b^2 + c^2 = 2m^2 + \frac{a^2}{2}$
Выражаем m.
$2(b^2 + c^2) = 4m^2 + a^2 \\ 2(b^2 + c^2) - c^2 = 4m^2 \\ m^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$
Что и требовалось доказать.