1. В основании – прямоугольник, поэтому треугольник ABD – прямоугольный. По теореме Пифагора находится его гипотенуза.
BD−→−=AB2+AD2−−−−−−−−−−√=62+82−−−−−−√=10
2. Достроим четырехугольник KPRM, где P и R – середины BB1 и DD1 соответственно.
По признаку параллелограмма все четыре получившихся четырехугольника ABPK,BCMP,CMRD и AKRD – параллелограммы.
Следовательно, KPRM – тоже параллелограмм, причем равный основаниям параллелепипеда. А значит, и прямоугольник.
Диагонали прямоугольника KM=PR=BD= равны. Следовательно, KM−→−=10
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник CC1L. Угол CC1L равен углу B1BC, который в свою очередь равен 60° по условию. Следовательно, угол C1CL=30°. По теореме о катете напротив угла в 30° гипотенуза CC1=2⋅LC1=2⋅4=8.
И CC1−→−=8
4. Рассмотрим треугольник B1CC1.
Его уголCC1B1=60° , его стороны CC1 и B1C1
Объяснение:
а)
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Откуда CO - биссектриса ∠ACB; BO - биссектриса ∠ABC. Биссектриса делит угол пополам.
В ΔOBC: ∠POC - внешний, поэтому равен сумме двух внутренних углов треугольника не смежных с ним. ∠POC = ∠OBC+∠BCO.
∠PCA = ∠PBA, как вписанные углы опирающиеся на одну дугу AP.
∠PBA = ∠PBC, как углы при биссектрисе. Так же ∠ACO = ∠BCO.
В ΔPOC:
∠PCO = ∠PCA+∠ACO = ∠PBC+∠BCO;
∠POC = ∠OBC+∠BCO;
∠PCO = ∠POC ⇒ ΔPOC - равнобедренный (OC - основание) значит, PO=PC, что и требовалось доказать.
б)
Пусть PH⊥AC и H∈AC, тогда PH=21. ∠ABC=120°. T - центр описанной окружности около ΔABC.
Четырёхугольник PABC - вписан в окружность, поэтому ∠APC+∠ABC=180°;
∠APC = 180°-120° = 60°.
∠PCA = ∠PBA = ∠ABC:2 = 120°:2 = 60°
В ΔPCA: ∠PCA=60°; ∠APC =60°; ΔPCA - равнобедренный, с углом при основании в 60°, поэтому это равносторонний треугольник.
Радиус описанной около ΔABC равен радиусу описанной около ΔPCA т.к. это одна окружность.
PH - высота правильного ΔPCA, а значит и медиана.
Центр описанной окружности около правильного треугольника является центром треугольника, в том числе и центром тяжести (т. пересечения медиан). Поэтому радиус описанной равен 2/3 от высоты.
PT =
PH = 21·2/3 = 14
ответ: 14.