1. Угол между наклонной к плоскости и плоскостью - это угол между наклонной и ее проекцией на плоскость. Искомый угол - угол МАО. Высота правильного треугольника равна h=(√3/2)*a = (√3/2)*2√3=3. АО=(1/3)*h = 1 (свойство медианы). Tg(<MAO) = MO/AO = √3.
ответ: α = arctg√3 = 60°
2. Искомый угол - угол между наклонной и ее проекцией, то есть угол АВК. Sin(<ABK) = KA/KB = AC*tg60/5 = 5√3/11. <ABK = arcsin(0,787) ≈ 51,9°.
3. Опустим перпендикуляры SP и SH из точки S к сторонам АВ и АD соответственно. Прямоугольные треугольники APS и AHS равны по гипотенузе и острому углу. Значит АР=АН и АРОН - квадрат. тогда АО = АН*√2 (диагональ квадрата), АS = 2*АН (в треугольнике ASH катет АН лежит против угла 30°, а AS - гипотенуза). Косинус искомого угла (между наклонной AS и плоскостью АВСD, равного отношению проекции наклонной к наклонной) = АО/AS = АН√2/(2*АН) = √2/2.
ответ: искомый угол равен 45°.
1) Находим координаты вершин С и Д как симметричные вершинам А и В.
xC = 2x0 - xA = 2*0 - 1 = -1,
yC = 2y0 - yA = 2*1,5 - 3 = 0.
zC = 2z0 - xA = 2*0 + 1 = 1. C(-1; 0; 1).
xД = 2х0 -хВ = 2*0 + 2 = 2,
уД = 2у0 - уВ = 2*1,5 - 1 =2,
zД = 2z0 - zB = 2*0 - 0 = 0. B(2; 2; 0).
2) Вектор ВС: (-1+2=1; 0-1=-1; 1-0=1) = (1; -1; 1).
Его длина (модуль) равна √(1²+ (-1)² + 1²) = √3.