Большая высота - та, которая проведена к меньшему основанию. Найдем площадь основания по формуле Герона: S=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Здесь a,b,c - стороны, p -полупериметр. Таким образом, S=sqrt(8*4*3*1)=4sqrt(6). S=1/2ah, тогда 1/2*4*h=4sqrt(6), отсюда h=2sqrt(6). Объем призмы равен произведению площади основания на высоту, тогда V=4sqrt(6)*2sqrt(6)=48.
Центры окружностей касательных прямой m в точках А и В лежат на перпендикулярах к этой прямой проведенных в этих точках. Проведем окружности касающиеся друг друга в точке С и прямой в точках А и В. Центры этих окружностей лежат на пересечении перпендикуляров от А и В и серединных перпендикуляров АС и ВС. Проведем касательную прямую СО. Она пересекает прямую АВ в точке О. По свойству касательных, проведенных из одной точки ОА=ОС и ОС=ОВ. Значит ОА=ОВ и точка О середина АВ. ОС медиана треугольника АВС. Если медиана равна половине стороны к которой проведена, то угол этого треугольника прямой и треугольник - прямоугольный с гипотенузой равной диаметру окружности описанной вокруг него. Следовательно: множество искомых точек - вершины прямоугольных с общей треугольников гипотенузой АВ описанных окружностью с диаметром АВ.
1) Пусть дана трапеция ABCD, где BC - меньшее основание. Проведем 2 высоты BB₁ и CC₁ к другому основанию. Тогда получим 2 прямоуг. треуг. (AB₁B и DC₁C) и прямоугольник BB₁C₁C. Площадь прямоуг. равна 15*8=120, значит сумма площадей треуг. равна 48, т.к. треуг. равны, то площадь треуг AB₁B=24=AB₁*BB₁/2, значит AB₁=6=C₁D. Зн. AB=CD=10. Тогда периметр = 10+10+15+15+6+6=62. ответ: 62 2) Пусть угол KMA = x, а угол MKA = y, тогда x+y=180-105=75. Угол PKM = 2x, А PMK = 2y, т.е. их сумма равна 2(x+y) = 150, тогда угол KMP = 30. ответ: 30° 3) AB=CD, углы ABC=CDA и BCD=DAB, т.к. ABCD - параллелограмм. Углы BAM=DAM=DCK=BCK, т.к. CK и AM - биссектрисы. В итоге: углы ABM=CDK, KCD=BAM, AB=CD, значит треугольники равны по УСУ(2 угла и сторона между ними.)
Большая высота - та, которая проведена к меньшему основанию. Найдем площадь основания по формуле Герона: S=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Здесь a,b,c - стороны, p -полупериметр. Таким образом, S=sqrt(8*4*3*1)=4sqrt(6). S=1/2ah, тогда 1/2*4*h=4sqrt(6), отсюда h=2sqrt(6). Объем призмы равен произведению площади основания на высоту, тогда V=4sqrt(6)*2sqrt(6)=48.