Дан правильный тетраэдр SABC с ребром а. Точки М, К, Р - соответственно середины ребер AS, SC, AB. Установить вид многоугольника, который является сечением тетраэдра плоскостью МКР, определить его периметр.
Точки М и К - середины сторон ∆ ASC. ⇒ МК- его средняя линия и параллельна АС. Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. ⇒ МК║(АВС)
Если плоскость (РМК) проходит через прямую (МК), параллельную другой плоскости (АВС) и пересекает эту плоскость, то линия пересечения (РТ) этих плоскостей параллельна данной прямой. => РТ|║МК║АС, Тогда РТ - средняя линия ∆ (АВС), точка Т - середина ВС, а КТ - средняя линия ∆ SBC.
.Противоположные стороны четырехугольника РМКТ - средние линии равных треугольников (т.к. SABC - правильный тетраэдр), и равны между собой.⇒ РМКТ - параллелограмм, а т.к. его стороны равны половине длин ребер тетраэдра, РМКТ - ромб. Р(РМКТ)=4•а/2=2 (ед. длины).
Проведем в РМКТ диагональ РК. Опустим из К перпендикуляр КН на плоскость ∆ АВС. Плоскость ∆ РSC содержит перпендикуляр к плоскости АВС - высоту SO тетраэдра, следовательно, перпендикулярна АВС (свойство). КН⊥РС, точка Н - середина ОС. СН=НО=ОР ( т.к. точка О - точка пересечения медиан треугольника АВС и делит медианы в отношении 2:1, считая от вершины - свойство). Проекция диагонали РК четырехугольника МКТР равна РН=2/3 медианы (высоты основания ) РС. . Аналогично доказывается: дианональ МТ= 2/3 АТ. Диагонали ромба РМКТ равны, ⇒ РМКТ - квадрат.
Площадь проекции плоской фигуры на плоскость ω равна произведению площади фигуры на косинус угла между плоскостью фигуры и плоскостью ω.
Найдём высоту проекции трапеции.
Если из конца верхнего основания провести отрезок, равный и параллельный противоположной стороне, то получим равнобедренный треугольник с боковыми сторонами по 5 см и основанием, равным 16 - 10 = 6 см.
Высота h этого треугольника равна высоте трапеции.
h = √(5² - (6/2)²) = 4 см.
Площадь проекции равна: S = ((10 + 16)/2)*4 = 52 см².
Отсюда cos a = 52/(52√2) = 1/√2 = √2/2.
Угол равен 45 градусов.
