Данная задача решается с теоремы Фалеса. Проводим прямую MN параллельную AL пересекающую сторону треугольника ВС в точке N. BL=LC так как ВК=КМ; LN=NC так как АМ=МС ⇒ BL=LN=NC то есть, сторона ВС разделена на 3 отрезка одинаковой длины; Тогда BL=1, LC=2; их отношение - 1/2.
Площадь параллелограмма равна произведению высоты и стороны, к которой проведена высота. Сторона параллелограмма дана ВС=19. Необходимо найти высоту h. Вообще-то она равна 14, т.е. удвоенное расстояние от точки К до стороны АВ. Надо доказать,что расстояние от точки К до стороны ВС равно расстоянию от точки К до стороны АВ. Соединим концы биссектрис углов А и В и обозначим буквами M и N. Полученная фигура ABNM - ромб. Доказывается равнобедренность треугольников ABN и AMN через равенство противолежащих углов. Проведем перпендикуляры из точки К к сторонам ВС и AD. Они равны как высоты равных треугольников и равны расстоянию от точки К к стороне АВ, т. е. равны 7. Таким образом высота параллелограмма равна 14. Площадь равна 14*19
Для доказательства равенства отрезков следует доказать равенство треугольников, образованных указанными отрезками, высотой равнобедренного треугольника,которая как раз соединяет вершину равнобедренного треугольника и середину основания, и сторонами равносторонних треугольников, построенных на сторонах равнобедренного треугольника. Доказательство проводится через признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними. Стороны равны по условию и построению, а углы равны по условию и по тому, что высота в равнобедренном треугольнике является также и биссектрисой.
Проводим прямую MN параллельную AL пересекающую сторону треугольника ВС в точке N.
BL=LC так как ВК=КМ;
LN=NC так как АМ=МС ⇒ BL=LN=NC то есть, сторона ВС разделена на 3 отрезка одинаковой длины;
Тогда BL=1, LC=2;
их отношение - 1/2.