Дано: треугольник АВС, угол А = 90°, BD - медиана треугольник KLM, угол K = 90°, LN - медиана AB = KL, BD = LN Доказать: треугольник АВС = треугольнику KLM Доказательство: Рассмотрим треугольники ABD и KLN. Эти треугольники равны по катету и гипотенузе: AB=KL, BD=LN (по условию) В равных треугольниках стороны и углы соответственно равны, следовательно, AD = KN Рассмотрим треугольники ABC и KLM. В этих треугольниках BD и LN являются медианами, значит, AD=DC и KN=NM Но, как мы только что доказали, AD = KN Значит, AC = KM По условию AB = KL Следовательно, треугольники ABC и KLM равны по двум катетам, что и требовалось доказать
Указание. Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный. Задача сводится к построению прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе.
Решение. С центром в произвольной точке построим окружность, радиус которой равен данной медиане. Проведём произвольный диаметр AB этой окружности. С центром в точке Aпостроим окружность, радиус которой равен данному катету. Пусть C — одна из точек пересечения построенных окружностей. Тогда медиана CM (радиус первой окружности) треугольника ABC равна половине стороны AB (диаметр первой окружности), следовательно, ABC — искомый прямоугольный треугольник.
