Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если диагональное сечение пирамиды – прямоугольный треугольник, площадь которого равна 32 см2 .
Пирамида правильная значит её вершина О проецируется в центр основания в точку К. Обозначим основание пирамиды АВСД. АС диагональ, Обозначим рёбра пирамиды а. Тогда площадь диагонального сечения( а*а)/2=32. Отсюда а=8. По условию угол АОС прямой значит углы при основании 45, тогда угол КОС =углу ОСК=45. Тогда ОК=КС=в. Причём в квадрат+в квадрат=а квадрат , отсюда в=4 корня из 2. Тогда АС=2 в=8 корней из 2. АД=ДС=с. с квадрат+ с квадрат= АСквадрат. Отсюда с=8. Получили а=с=8. Найдём по формуле Герона площадь одной грани S1=корень из(12*4*4*4)=27,71. Умножим на 4 и получим площадь боковой поверхности=110,85.
По условию задачи AB перпендикулярна BC, следовательно перпендикулярна и AD (т.к. в трапеции основания параллельны). Расстояние от точки Е до прямой CD - отрезок, перпендикулярный CD и проходящий через точку Е. Продолжим стороны AB и CD до пересечения в точке T. Проведем CK параллельно AB. KC=AB (т.к. ABKC - прямоугольник). KD=AD-AK=16-15=1 По определению косинуса: cos∠CDK=KD/CD=1/CD Рассмотрим треугольники TCB и CKD. ∠CTB=∠DCK (т.к. это соответственные углы при параллельных прямых TA и CK) ∠TBC=∠CKD=90° Следовательно, эти треугольники подобны (по первому признаку подобия). Тогда, BC/KD=TC/CD 15/1=TC/CD TC=15CD По теореме о касательно и секущей: TE2=TD*TC=(TC+CD)*TC=(15CD+CD)15CD=16CD*15CD=240CD2 TE=CD√240=4CD√15 Рассмотрим треугольники TEF и TAD. ∠CTB - общий ∠EFT=∠TAD=90° Следовательно, применив теорему о сумме углов треугольника, получаем, что ∠TEF=∠ADT. Следовательно, cos∠TEF=cos∠ADT. EF=TE*cos∠TEF=TE*cos∠ADT=TE/CD=4CD√15/CD=4√15 ответ: EF=4√15
В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD=8, BC=4.
Есть 4 варианта расположения трапеции и окружности при данных ВС и АD. (Представлены на рисунках). Для всех четырех решение и результат одинаковы: Искомое расстояние - это перпендикуляр EF к прямой CD. По условию ВС - средняя линия треугольника ADS. DC=SC, AB=BS. SD=2DC. Тогда по свойству касательной и секущей из одной точки к окружности имеем: SE² = SD*SC = 2DC² или SE = CD√2. Прямоугольные треугольники HDC и FES подобны по острому углу <S=<C (так как НС параллельна AS). Из подобия треугольников имеем: EF/DH = SE/CD => EF = DH*SE/CD. EF=4CD√2/CD = 4√2. Или так: EF=SE*Sin(<ESF) =SE*Sin(<DCH). <ESF=<DCH =α (соответственные углы в подобных треугольниках) α= SE*Sinα Sinα=HD/DC. EF = SE*HD/CD. Или так: EF=SE*Cos(<SEF) =SE*Cos(<FDA). <SEF=<FDA =β (соответственные углы в подобных треугольниках) α= SE*Cosβ Cosβ=HD/DC. EF = SE*HD/CD. Все эти варианты, в принципе, одно и то же. ответ: EF= 4√2.
Так как решение при любых вариантах расположения окружности и трапеции одинаково, можно привести решение подобных задач в общем виде для разных значений ВС и AD. Решение. Пусть ВС= а, AD=b. AD>BC. Прямоугольные треугольники HDC и FES подобны по острому углу <S=<C (так как НС параллельна AS). Из подобия имеем: EF/HD = SE/CD => EF = DH*SE/CD. Следовательно, чтобы найти EF, надо выразить DH, SЕ и CD через основания трапеции ВС и AD. DH=AD-BC = (b-a) (по условию). Прямоугольные треугольники ASD и BSC подобны по общему острому углу <S. Коэффициент подобия равен k=ВC/AD=a/b. Тогда SC=CD*a/(b-a). SD=SC+CD = CD*(a/(b-a)+CD = CD(a/(b-a) +1)= CD*b/(b-a). По свойству касательной и секущей из одной точки к окружности имеем: SE² = SD*SC. SE² = SD*SC=CD*b/(b-a))*CD*a/(b-a) = CD²*a*b/(b-a)². SE = CD*√(a*b)/(b-a). EF=(b-a)*CD*√(a*b)/((b-a)*CD) = √(a*b). ответ: расстояние от точки Е до прямой CD равно √(ВС*AD) для любых значений ВС и AD. ЕF=√(ВС*AD).
Пирамида правильная значит её вершина О проецируется в центр основания в точку К. Обозначим основание пирамиды АВСД. АС диагональ, Обозначим рёбра пирамиды а. Тогда площадь диагонального сечения( а*а)/2=32. Отсюда а=8. По условию угол АОС прямой значит углы при основании 45, тогда угол КОС =углу ОСК=45. Тогда ОК=КС=в. Причём в квадрат+в квадрат=а квадрат , отсюда в=4 корня из 2. Тогда АС=2 в=8 корней из 2. АД=ДС=с. с квадрат+ с квадрат= АСквадрат. Отсюда с=8. Получили а=с=8. Найдём по формуле Герона площадь одной грани S1=корень из(12*4*4*4)=27,71. Умножим на 4 и получим площадь боковой поверхности=110,85.