Question

Сделайте рисунок стороны четырехугольника, взятые последовательно, равны a, b, c и d. найдите косинус угла между сторонами b и c, если около четырехугольника можно описать окружность.

Answer 1

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°.
α+β=180°
Отсюда следует, что косинусы этих углов противоположны
cosα=-cosβ

Проведем в четырехугольнике диагональ и выразим ее по теореме косинусов с двух сторон
$d_1^2=b^2+c^2-2bc*cos \alpha \\ d_1^2=a^2+d^2-2ad*cos \beta$
приравниваем
$b^2+c^2-2bc*cos \alpha =a^2+d^2-2ad*cos \beta$
т.к. cosα=-cosβ
$b^2+c^2-2bc*cos \alpha =a^2+d^2+2ad*cos \alpha \\ 2ad*cos \alpha +2bc*cos \alpha =b^2+c^2-a^2-d^2 \\ cos \alpha (2ad+2bc)=b^2+c^2-a^2-d^2 \\ cos \alpha = \dfrac{b^2+c^2-a^2-d^2}{2ad+2bc}$